高中数学竞赛讲义（十一）圆锥曲线一、基础知识一、基础知识 1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之 间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)，参数方程为（为参数）。若焦点在 y 轴上，列标准方程为(ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标 分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比 e 称为离心率，且，由c2+b2=a2知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为 k 的切线方程为；3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义： 满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(a, b0),a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由 a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a； 若 P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是。10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F坐标为，准线方程为，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.11抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=,xOP=，则由 （，）唯一确定点 P 的位置，（，）称为极坐标。 13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若 01，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题二、方法与例题 1与定义有关的问题。例 1 已知定点 A（2，1），F 是椭圆的左焦点，点 P 为椭圆上的动点，当 3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P 的坐标。解 见图 11-1，由题设 a=5, b=4, c=3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点 A 在椭圆内部，又点 F 坐标为（-3，0），过 P作 PQ 垂直于左准线，垂足为 Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于 M)。所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把 y=1 代入椭圆方程得，又 xb0）.F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以点 P 的轨迹是以 F，O 为两焦点的椭圆（因为 a|FO|=c），将此椭圆按向量 m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为解法二 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1)，则，即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 A 在椭圆上，所以代入得关于点 P 的方程为。它表示中心为，焦点分别为 F 和 O 的椭圆。例 4 长为 a, b 的线段 AB，CD 分别在 x 轴，y 轴上滑动，且 A，B，C，D 四点共圆， 求此动圆圆心 P 的轨迹。解 设 P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D 的坐标分别为 A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 记 O 为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为，即当 a=b 时，轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x； 当 ab 时，轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线； 当 a0, b0)的右焦点 F 作 B1B2轴，交双曲线于 B1，B2两点，B2与左焦点 F1连线交双曲线于 B 点，连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标 为定值。 证明 设点 B，H，F 的坐标分别为(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，则 F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为 F1，H 分别是直线 B2F，BB1 与 x 轴的交点，所以所以 。由得代入上式得即 （定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例 7 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准线上，且 BC/x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明 设，则，焦点为，所以，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线 AC 经过原点。例 8 椭圆上有两点 A，B，满足 OAOB，O 为原点，求证：为定值。证明 设|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，则点 A，B 的坐标分别为A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由 A，B 在椭圆上有即 +得（定值）。4最值问题。 例 9 设 A，B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点，且 OAOB（O 为原点），求|AB|的最 大值与最小值。解 由题设 a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例 8 可得=4。设 m=|AB|2=,因为，且 a2b2，所以，所以 br1a，同理 br2a.所以。又函数 f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当 t=1 即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值 1；当或时，|AB|取最大值。例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在 x 轴上，离心率为，若圆 C：1 上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。解 设 A，B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当 A，B，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t,t，椭圆方程为，并设点 B 坐标为 B(2tcos,tsin)，则|BC|2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsin+)2+3+4t2.若，则当 sin=-1 时，|BC|2取最大值 t2+3t+，与题设不符。若 t,则当 sin=时，|BC|2取最大值 3+4t2，由 3+4t2=7 得 t=1.所以椭圆方程为。5直线与二次曲线。 例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点，试求 a 的取值范围。解 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1)，对称轴为 y 轴，存在关于直线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对点 P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足 y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a(),因为 P 不在直线 x+y=0 上，所以 x1+y10,所以 1=a(x1-y1)，即 x1=y1+所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆相交，（1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求 b 的值。解 二方程联立得 17x2+16bx+4(b2-1)=0.由 0，得0)，则动点的轨迹是_.3椭圆上有一点 P，它到左准线的距离是 10，它到右焦点的距离是_.4双曲线方程，则 k 的取值范围是_.5椭圆，焦点为 F1，F2，椭圆上的点 P 满足F1PF2=600，则 F1PF2的面积是_.6直线 l 被双曲线所截的线段 MN 恰被点 A（3，-1）平分，则 l 的方程为_. 7ABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x 上，点 A（2，8），且 ABC 的重心与这条抛 物线的焦点重合，则直线 BC 的斜率为_. 8已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0，一条准线方程为 5y+4=0，则双曲线方程为_. 9已知曲线 y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两 个交点的直线的倾斜角为 450，那么 a=_.10.P 为等轴双曲线 x2-y2=a2上一点，的取值范围是_.11已知椭圆与双曲线有公共的焦点 F1，F2，设 P 是它们的一个焦点，求F1PF2和 PF1F2的面积。 12已知（i）半圆的直径 AB 长为 2r；（ii）半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直，垂足为 T，设|AT|=2a(2a1)的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直 角三角形 ABC，这样的三角形最多可作_个.11求椭圆上任一点的两条焦半径夹角 的正弦的最大值。12设 F，O 分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点 F 的椭圆的任意弦AB，点 O 都在以 AB 为直径的圆内，求椭圆离心率 e 的取值范围。13已知双曲线 C1：(a0)，抛物线 C2的顶点在原点 O，C2的焦点是 C1的左焦点 F1。 （1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过 C2的焦点 F1的弦 AB，使 AOB 的面积有最大值或最小值？若存 在，求直线 AB 的方程与 SAOB的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1在平面直角坐标系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则 m 的取值范围是_. 2设 O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且 PQ 为过 F 的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ 面积为_.3给定椭圆，如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且OPOQ，则离心率 e 的取值范围是_.4设 F1，F2分别是双曲线(ab0)的左、右焦点，P 为双曲线上的动点，过 F1作F1PF2平分线的垂线，垂足为