第第 17 讲讲：异面直：异面直线线所成的角的求法所成的角的求法【考纲要求考纲要求】 能用向量方法解决直线与直能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题。线的夹角的计算问题。 【基础知识基础知识】 一、异面直线的定义一、异面直线的定义的方向向量。的方向向量。四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想的思想，就是把空间的角转化为平面的角，就是把空间的角转化为平面的角， 再利用解三角形的知识解答。再利用解三角形的知识解答。 五、温馨提示五、温馨提示如果你解三角形得到的角如果你解三角形得到的角的余弦是一个负值，如的余弦是一个负值，如1cos2 ，你不能说两条异面直线，你不能说两条异面直线所成的角为所成的角为0120，你应该说两条异面直线所成的角为，你应该说两条异面直线所成的角为00018012060，因为两条异面直，因为两条异面直线所成的角的范围为线所成的角的范围为(0,2。例例 1 1 在正四棱柱在正四棱柱1111ABCDABC D中，中，122ABBB，P为为11BC的中点的中点（1 1）求直线）求直线ACAC与平面与平面ABPABP所成的角；所成的角； （2 2）求异面直线）求异面直线ACAC与与B BP P所成的角；所成的角； （3 3）求点）求点B B到平面到平面APCAPC的距离的距离 解：解： 解解 （1 1）ABAB平面平面 BCBC1 1，PCPC平面平面 BCBC1 1，ABPCABPC 在矩形在矩形 BCCBCC1 1B B1 1 中，中，BC=2BC=2，BBBB1 1=1=1，P P 为为 B B1 1C C1 1的的中点，中点，PCPBPCPB PCPC平面平面 ABPABP，CAPCAP 为直线为直线 ACAC 与平面与平面 A ABPBP 所成的角所成的角 PC=PC=2，AC=AC=2 2，在在 RtAPCRtAPC 中，中，CAP=30CAP=300 0直线直线 ACAC 与平面与平面 ABPABP 所成的角为所成的角为 30300 0 P（2 2）取）取 A A1 1D D1 1中点中点 Q Q，连结，连结 AQAQ、CQCQ，在正四棱柱中，有，在正四棱柱中，有 AQBPAQBP， CAQCAQ 为异面直线为异面直线 ACAC 与与 BPBP 所成的角所成的角 【变式演练变式演练 1】已知四边形已知四边形 ABCD 为直角梯形，为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面平面 AC，且，且 PA=AD=AB=1,BC=2(1)(1)求求PCPC的长；的长； (2)(2)求异面直线求异面直线PCPC与与BDBD所成角的余弦值的大小；所成角的余弦值的大小； (3)(3)求证：二面角求证：二面角B BPCPCD D为直二面角为直二面角. . 来源来源: :学科网学科网 ZXXKZXXK例例 2 2 如图所示，如图所示，AFAF、DEDE 分别是分别是OO、OO1 1的直径，的直径，ADAD 与两圆所在的平面均垂直，与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BCAD=8.BC 是是OO 的直径的直径，AB=AC=6AB=AC=6，OEAD.OEAD. （1 1）求二面角）求二面角 B-AD-FB-AD-F 的大小；的大小； （2 2）求直线）求直线 BDBD 与与 EFEF 所成的角的余弦值所成的角的余弦值. 解解 （1 1）ADAD 与两圆所在的平面均垂直，与两圆所在的平面均垂直， ADABADAB，ADAFADAF， 故故BAFBAF 是二面角是二面角 B BADADF F 的平面角的平面角. 依题意可知，四边形依题意可知，四边形 ABFCABFC 是正方形，是正方形，BAF=45.BAF=45. 来源来源: :学学. .科科. .网网 Z.X.X.KZ.X.X.K 即二面角即二面角 B BADADF F 的大小为的大小为 45;45; （2 2）以）以 O O 为原点，为原点，CBCB、AFAF、OEOE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），标系（如图所示），则则 O O（0 0，0 0，0 0），），A A（0 0，-3-32，0 0），），B B（3 32，0 0，0 0），），D D（0 0，-3-32，8 8），）， E E（0 0，0 0，8 8），），F F（0 0，3 32，0 0），），BD= =（-3-32，-3-32，8 8），），EF= =（0 0，3 32，-8-8）.coscosBD, ,EF=.10828210064180| EFBDEFBD设异面直线设异面直线 BDBD 与与 EFEF 所成角为所成角为，则，则coscos=|cos=|cosEFBD,|=|=1082.即直线即直线 BDBD 与与 EFEF 所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为1082. .【变式演练变式演练 2】2】如图所示，已知点如图所示，已知点 P P 在正方体在正方体 ABCDABCDABCDABCD对角线对角线 BDBD上上, ,PDA=60PDA=60 (1)(1)求求 DPDP 与与 CCCC所成角的大小所成角的大小;(2);(2)求求 DPDP 与平面与平面 AADDAADD 所成角的大小所成角的大小. 来源来源:Z|xx|k.:Z|xx|k. ComCom【高考精选传真高考精选传真】1.【2012 高考真题陕西理高考真题陕西理 5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABCABC，12CACCCB，则直线，则直线1BC与直线与直线1AB夹角的余弦值为（夹角的余弦值为（ ）A. 5 5B.5 3C. 2 5 5D. 3 52.【2012 高考真题全国卷理高考真题全国卷理 16】三菱柱三菱柱 ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60则异面直线则异面直线 AB1与与 BC1所成角的余弦值为所成角的余弦值为_.3 3 （20122012 高考真题上海理高考真题上海理 1919）如图，在四棱锥）如图，在四棱锥 P- -ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩是矩形，形，PA底面底面 ABCD，E 是是 PC 的中点的中点. .已知已知 AB=2， AD=22，PA=2. .求：求： （1 1）三角形）三角形 PCD 的面积；（的面积；（6 6 分）分） （2 2）异面直线）异面直线 BC 与与 AE 所成的角的大小所成的角的大小. .（6 6 分）分）22 2224 |cos BCAEBCAE， =4.由此可知，异面直线由此可知，异面直线 BC 与与 AE 所成的角的大小是所成的角的大小是4解法二解法二取取 PB 中点中点 F，连接，连接 EF、AF，则，则EFBC，从而，从而AEF（或其补角）是异面直线（或其补角）是异面直线 来源来源: :学科网学科网 BC 与与 AE 所成的角所成的角 8 分分ABCDPEF在在AEF中，由中，由 EF=2、AF=2、AE=2知知AEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，所以所以AEF=4. 因此异面直线因此异面直线 BC 与与 AE 所成的角的大小是所成的角的大小是4【反馈训练反馈训练】 1 1四面体四面体 ABCDABCD 中，中，E E、F F 分别是分别是 ACAC、BDBD 的中点，若的中点，若 CD=2ABCD=2AB，EFABEFAB，则，则 EFEF 与与 CDCD 所成的所成的 角等于（角等于（ ） A A3030 B B4545 C C6060 D D9090 2.ABCD2.ABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为正方体为正方体, ,点点 P P 在线段在线段 A A1 1C C1 1上运动上运动, ,异面直线异面直线 BPBP 与与 ADAD1 1所成的角为所成的角为 ,则则 的范围为的范围为( ( ) )A.(0,A.(0,2) ) B.(0,B.(0,2 C.(0,C.(0,3) ) D.(0,D.(0,33.3.在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M为为DDDD1 1的中点，的中点，O O为底面为底面ABCDABCD的中心，的中心，P P为棱为棱A A1 1B B1 1上任意上任意 一点，则直线一点，则直线OPOP与直线与直线AMAM所成的角是所成的角是( ( ) )A.A.6B.B.4C.C.3D.D.24.4. 直三棱柱直三棱柱 A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC，BCA=90BCA=90，点，点 D D1 1、F F1 1分别是分别是 A A1 1B B1 1、A A1 1C C1 1的中点，的中点，BC=CA=CCBC=CA=CC1 1， 则则 BDBD1 1与与 AFAF1 1所成角的余弦值是（所成角的余弦值是（ ）A A1030B B21C C1530D D1015 来源来源: :学学, ,科科, ,网网 Z,X,X,KZ,X,X,K5 5头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 已知四边形已知四边形ABCDABCD为直角梯形，为直角梯形，ADADBCBC，ABCABC=90,=90,PAPA平面平面ACAC，且，且PAPA= =ADAD= =ABAB=1,=1,BCBC=2=2 (1)(1)求求PCPC的长；的长； (2)(2)求异面直线求异面直线PCPC与与BDBD所成角的余弦值的大小；所成角的余弦值的大小； (3)(3)求证求证头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhtt