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- 1 -圆锥曲线圆锥曲线 三、解答题三、解答题1.1.如图,已知直线如图,已知直线 L L:)0( 1:12222 baby axCmyx过椭圆的右焦点的右焦点 F F,且交椭圆,且交椭圆C C 于于 A A、B B 两点,点两点,点 A A、B B 在直线在直线2:G xa上的射影依次为点上的射影依次为点 D D、E E。(1 1)若抛物线)若抛物线yx342的焦点为椭圆的焦点为椭圆 C C 的上顶点,求椭圆的上顶点,求椭圆 C C 的方程;的方程;(2 2) (理)连接(理)连接 AEAE、BDBD,试探索当,试探索当 m m 变化时,直线变化时,直线 AEAE、BDBD 是否相交于一定点是否相交于一定点 N N?若交于定?若交于定 点点 N N,请求出,请求出 N N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由。点的坐标,并给予证明;否则说明理由。(文)若(文)若)0 ,21(2aN为为 x x 轴上一点轴上一点, ,求证求证: :ANNEuuu ruuu r解:(1)易知)0 , 1 (, 332Fbb又 41222cbac13422 yxC的方程为椭圆(2))0 ,(),0 , 1 (2akFQ 先探索,当 m=0 时,直线 Lox 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且)0 ,21(2aN猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点)0 ,21(2aN证明:设),(),(),(),(12 22 2211yaDyaEyxByxA,当 m 变化时首先 AE 过定点 N- 2 -2222222 2222222222212 22121212221212122221()2(1)0.804(1)0(1),11 22 1()2011()22 1()2 12(2ANENANENxmyab mymb ybab xa ya ba b am ba yyKKaamyayymy y KKaamyayymy yamb a QQQ即分又而这是2222222222222(1)(1) ()0)bamm bam b ambmb am b KAN=KEN A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线AE 与 BD 相交于定点)0 ,21(2aN(文)解:(1)易知)0 , 1 (, 332Fbb又 41222cbac13422 yxC的方程为椭圆(2)(文)0 ,(),0 , 1 (2akFQ设2 11222( ,),(,),(,)A x yB xyE ay2222222 222222222221()2(1)004(1)0(1)xmyab mymb ybab xa ya ba bam ba QQ即12 22121212221,11 22 1()2011()22ANENANENyyKKaamyayymy y KKaamy 又而- 3 -2121222222222222222221()2 12(1)()2 (1) ()0)ayymy yambbamam bam b ambmb am b Q这是KAN=KEN A、N、E 三点共线ANNEuuu ruuu r2.2.如图所示,已知圆如图所示,已知圆, 8) 1( :22yxC定点定点 A A(1 1,0 0) ,M M 为圆上一动点,点为圆上一动点,点 P P 在在 AMAM 上,上,点点 N N 在在 CMCM 上,且满足上,且满足0,2AMNPAPAM,点,点 N N 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E E。(1 1)求曲线)求曲线 E E 的方程;的方程; (2 2)若过定点)若过定点 F F(0 0,2 2)的直线交曲线)的直线交曲线 E E 于不同的两点于不同的两点 G G、H H(点(点 G G 在点在点 F F、H H 之间)之间) ,且满,且满足足求,FHFG 的取值范围。的取值范围。解:(1). 0,2AMNPAPAMQNP 为 AM 的垂直平分线, |NA|=|NM|又,22| NMCNQ. 222|ANCN动点 N 的轨迹是以点 C(1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为. 22,222ca焦距. 1, 1,22bca曲线 E 的方程为. 1222 yx(2)当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 方程为, 12, 222 yxkxy代入椭圆方程得. 034)21(22kxxk由.2302k得设 211 2212211213,214),(),( kxx kkxxyxHyxG 则又,FHFHQ)2,()2,(2211yxyx,21xx2 221221,)1 (xxxxxx212 2221)1(xxxxx,213)1 (214( 2222kkk- 4 -APQFOxy整理得22)1 () 121(316 k,232kQ.3163231642 k. 331.316214解得又, 10Q. 131又当直线 GH 斜率不存在,方程为.31,31, 0FHFGx, 131即所求的取值范围是) 1 ,313.3.设椭圆设椭圆 C C:)0( 12222 baby ax的左焦点为的左焦点为 F F,上顶点为,上顶点为 A A,过点,过点 A A 作垂直于作垂直于 AFAF 的直的直线交椭圆线交椭圆 C C 于另外一点于另外一点 P P,交,交x x轴正半轴于点轴正半轴于点 Q Q, 且且 PQAP58求椭圆求椭圆 C C 的离心率;的离心率; 若过若过 A A、Q Q、F F 三点的圆恰好与三点的圆恰好与直线直线l l: 053yx相切相切,求椭圆,求椭圆 C C 的方程的方程. . 解:设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0) (0,b)知),(),(0bxAQbcFAcbxbcxAQFA202 0, 0,Q设PQAPyxP58),(11由,得21185,1313bxybc因为点 P 在椭圆上,所以1)135()138(22222bbacb整理得 2b2=3ac,即 2(a2c2)=3ac,22320ee,故椭圆的离心率e=21由知acacacbacb21 21 23322 2,得又;,得,于是 F(21a,0) , Q)0 ,23(aAQF 的外接圆圆心为(21a,0) ,半径 r=21|FQ|=a 所以aa 2|521| ,解得a=2,c=1,b=3,所求椭圆方程为13422 yx- 5 -4.4.设椭圆设椭圆的离心率为的离心率为 e=e=)0( 12222 baby ax22(1 1)椭圆的左、右焦点分别为)椭圆的左、右焦点分别为 F F1 1、F F2 2、A A 是椭圆上的一点,且点是椭圆上的一点,且点 A A 到此两焦点的距离之到此两焦点的距离之和为和为 4,4,求椭圆的方程求椭圆的方程. .(2 2)求)求 b b 为何值时,过圆为何值时,过圆 x x2 2+y+y2 2=t=t2 2上一点上一点 M M(2 2,)处的切线交椭圆于)处的切线交椭圆于 Q Q1 1、Q Q2 2两点,两点,2而且而且 OQOQ1 1OQOQ2 2(1)椭圆的方程为12422 yx(2)解: 过圆上的一点 M(2,)处的切线方程为 2x+y6=0.222xyt22令,, 则 111()Q xy,222()Q xy, 222220622byxyx化为 5x224x+362b2=0, 由0 得: 5103b541818)(62,5236,524221212122121bxxxxyybxxxx由知,,12OQOQ902 2121byyxx即 b=3(,+) ,故 b=3 51035.5.已知曲线已知曲线c上任意一点上任意一点 P P 到两个定点到两个定点 F F1 1(-(-3,0)0)和和 F F2 2( (3,0)0)的距离之和为的距离之和为 4 4(1 1)求曲线)求曲线c的方程;的方程;(2 2)设过)设过(0(0,-2)-2)的直线的直线l与曲线与曲线c交于交于 C C、D D 两点,且两点,且OODOC(0 为坐标原点)为坐标原点) ,求直,求直线线l的方程的方程解:(1)根据椭圆的定义,可知动点M的轨迹为椭圆,其中2a ,3c ,则221bac所以动点M的轨迹方程为2 214xy(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为2ykx,设11(,)C xy,22(,)D xy,0OC ODuuu r uuu r ,12120x xy y 112ykx,222ykx,2 1212122 ()4y yk xxk xx 2 1212(1)2 ()40kx xk xx 由方程组2 21,4 2.xyykx 得221416120kxkx则12216 14kxxk,12212 14xxk,代入,得2 22121612401414kkkkk即24k ,解得,2k 或2k 所以,直线l的方程是- 6 -22yx或22yx 6.已知椭圆已知椭圆的左焦点为的左焦点为 F,左、右顶点分别为,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为,上顶点为 B过过2 2 21(01)yxbbF、B、C 作作P,其中圆心,其中圆心 P 的坐标为(的坐标为(m,n) ()当)当 mn0 时,求椭圆离心率的范围;时,求椭圆离心率的范围; ()直线)直线 AB 与与P 能否相切?证明你的结论能否相切?证明你的结论 解:()设 F、B、C 的坐标分别为(c,0) , (0,b) , (1,0) ,则 FC、BC 的中垂线 分别为,联立方程组,解出1 2cx11()22byxb21,2.2cxbcyb,即,即(1b) (bc)0, bc 21022cbcmnb20bbcbc从而即有,又,22bc222ac21 2e 0e 0e2 2()直线 AB 与P 不能相切由,ABkb22 102PBbcbbkc 2(1)bc b c 如果直线 AB 与P 相切,则1b2(1)bc b c 解出 c0 或 2,与 0c1 矛盾,所以直线 AB 与P 不能相切 7.有如下结论:有如下结论:“圆圆上一点上一点处的切线方程为处的切线方程为”,类比也,类比也222ryx),(00yxP2 00ryyyx有结论:有结论:“椭圆椭圆处的切线方程为处的切线方程为”,),()0( 1002222 yxPbaby ax上一点120 20byy axx过椭圆过椭圆 C:的右准线的右准线 l 上任意一点上任意一点 M 引椭圆引椭圆 C 的两条切线,切点为的两条切线,切点为 A、B.14
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