12012 级级高等数学高等数学期末复习提要期末复习提要高等数学是财经与管理专业的重要基础课，我们通过本期的认真学习，应做好期末总复习。现逐章给出复习的重点和具体要求。第一章第一章 函数极限与连续函数极限与连续一、基本概念：一、基本概念：函数：自变量x与因变量 y 的对应关系，记为 y = f(x) 定义域 D：自变量的取值范围复合函数：函数为函数与函数的复合函数，其中 yfg x yf u ug x称为中间变量。 ug x二、函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性二、函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性. .三、初等函数：三、初等函数：1、基本初等函数：六种、12 个常数函数 yc幂函数 0yx指数函数 0,1xyaaa对数函数 log0,0ayx aa三角函数 sin ,cos ,tan ,cotyx yx yx yx反三角函数 arcsin ,arccos ,arctan , cotyx yx yx yarcx 2、初等函数：由基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合得到的函数称为初等函数。四、极限的基本形式四、极限的基本形式: :1、函数极限的描述性定义当函数在自变量的某一变化趋势下，函数值无限接近常数，则称函数极( )f xx( )f xA限存在，极限值为，记为：Alim( )f xA22、函数极限的精确定义：0xx设函数在点附近有定义，若对于任意正数，均存在正数，使当( )f x0x时，总有不等式 成立，则称当时，极限存在，极限00xx( )f xA0xx( )f x值为，记为 ：A0lim( ) xxf xA 3、极限有七种基本形式 000limlimlimlimlimlimlimnnxxxxxxxxxyf x xf xf xf xf xf x 0数列极限在点 极限 函数极限 无穷远处五、极限计算的基本方法五、极限计算的基本方法: :1、初等函数在其定义域内连续，即00lim( )() xxf xf x 2、极限的基本运算法则:若存在，则：lim( ), lim ( )f xg xlim( )( )lim( )lim ( )lim( )lim( )lim( ) ( )lim( )lim ( )( )lim( )limlim ( )0( )lim ( )f xg xf xg xkf xkf xf x g xf xg xf xf xg xg xg x3、两个重要极限100sin1lim1, lim 1lim 1xx xxxxxexx注意注意: 极限的抽象形式极限的抽象形式( )1 ( ) ( )0( )( )0( )sin ( )1lim1, lim1lim1( )( )( )lim( )0,lim( ),lim( ) ( )lim 1( )xx xxxg xmxxxxxxexxf xg xf x g xmf xe 4、无穷大量与无穷小量3为无穷小量( )xlim( )0x为无穷大量( )xlim( )x 为无穷小量为无穷大量( )x1( )0( )xx为等价无穷小( ),( )xx( )lim1( )x x 记为( )( )xx:注：在乘积、商、乘方、开方的极限运算中，可进行等价代换，等价代换的常见公式有：注：在乘积、商、乘方、开方的极限运算中，可进行等价代换，等价代换的常见公式有：1 2sintanarcsinarctanln(1)11ln11cos(1)12xxnxxxxxxxxxxxexaxaxxxxn :当0时, 11111111,limlimlim: : :一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一, ,一 一一 一一 一一 一, , 一 一5、 有理分式函数求极限1 010 01 00111110, ( )lim, (0), 0, ()( )( )( )( )limlim, ( )( )()( ), nn n mmxmsrxaxanma xa xaaanmbbb xb xbnmsrxaP xP aP xbsrQ xQ axaQx L L L L11( )0,( )0)srP aQ a 6、罗必达法则（见第四章）000,0,1 ,0 ,0 六、函数的连续性六、函数的连续性41、在点连续( )f x0x00lim( )() xxf xf x 2、重要结论：初等函数在其定义域内连续3、间断点：不连续点 可去间断点第一类间断点跳跃间断点间断类型无穷间断点第二类间断点震荡间断点七、例题七、例题: :例 1设，求的定义域。221( )1arcsin5xf xx ( )f x解：由 得 2102115xx 2, 11,3x U2. 函数，则（ B ） 。1( )sinf xxx)(xf（A） 单调 （B） 有界 （C）为周期函数 （D）关于原点对称解：由函数性质可知。3若，则 ， ， 。 0,00,0,1 )( xxxx xf)0(f )1( ff(1)fx 解：，(0)f ( 1)f f 11,102,1 (1),10(1),1 0,100,1xxxx fxxfxx xx 例 2 当时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（ ） 。0x（A） （B） （C） （D）2xxcos1)1ln(2xxxtan解：因为与是同阶无穷小,而2x)1ln(,cos12xx02sec1limtanlim2020xx xxxxx所以 当时, 是其它三个函数的高阶无穷小,选择(D).xxtan0x例 3 2312lim1xxx x 5解：原式 2121lim11xxxxxx212lim1xx xx1例 4 0arcsinlim1 cosxxx x解：利用等价无穷小的性质计算：， Qarcsin xx:211 cos2xx:0x 原式 2002arcsinlimlim11 cos 2xxxxx xx2例 5 xxxx31011lim 解： 11 330012limlim 111xxxxxx xxQ 0212lim133xx xx123301lim1xxxex111lim1 22 3(1)nnn L L一 一6 6解故第二章第二章 导数与微分导数与微分一、导数的基本概念：一、导数的基本概念：1、定义：极限变化率2、导数定义公式：（1）导数记号：111 (1)1 111111111(1)()()11 22 3(1)22311nnnnnnnnn Q QL LL L1111limlim(1)11 22 3(1)1nnnnn L L6 00000( ):,( ),( ):,x x x xx xdy df xxIyfxdxdx dydf xxxyfxdxdx 一（2）等价定义公式： 00000( )( )( )limlimlim xxxxf xxf xf xf xf xyxxxx 其中：增量 0000,( )( )xxxf xf xf xf xxf x 3、几何意义：切线的斜率 0kfx切线方程： 000yyfxxx4、连续与导数的关系：可导必连续, 连续不一定可导,不连续一定不可导.注意注意: 分段函数可导与连续的讨论分段函数可导与连续的讨论.二、导数的基本运算二、导数的基本运算: :1、导数的基本公式（14 个） 10 011log0,0 lnlnln0,0 sincos cosaxxxxxCxxxaaxaaxaaa aaeexxx 222222sintansec cotcsc11arcsin arccos 11 11arctan arccot11xxxxxxx xxxxxx 2、导数的运算法则72( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )f xg xfxg xkf xkfxf x g xfx g xf x g xfx g xf x g xf xg xgxf x g x 一一( )( )( )( )fx g xf x g x( ) ( )fx g x 3、复合函数求导：, 则 ( ),( )yf u ug x ( )udydy du dxdu dx yyg x一即：复合函数导数函数对中间变量求导中间变量的导数4、隐函数求导：将视为中间变量，等式两边对求导。yx5、分段函数求导方法（1）在分段点不连续不可导（2）在分段点连续时，使用导数定义求导6、高阶导数 ( )(1),nnyyyyyyL7. 参数方程求导22( )( )1()()( )( )xtdytd yddy dtddy dxy