电磁场讲稿（3）崔 翔第 1 页2018-3-30第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 IIII：恒定电流的电场和磁场：恒定电流的电场和磁场31 恒定电场的基本方程与场的特性1恒定电场由麦克斯韦组的磁场旋度方程，对于导电媒质中的传导电流密度 Jc，有cJH 上式两边取散度，得0c J又由麦克斯韦组的另一旋度方程0E而导电媒质的构成方程为EJc由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。仿照静电场的处理，引入标量电位函数(r)作为辅助场量，即令 E = - ，可得电位满足拉普拉斯方程，即2 = 0例 1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为 U0。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。解：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位，其边值问题为：0022220,01,UDz 积分，得 =C1 + C2由边界条件，得图 扇形导电片中的恒定电流场电磁场讲稿（3）崔 翔第 2 页2018-3-30， 0 1UC 02C故导电片内的电位 0U电流密度分布为 eeEJ00UU 对于图示厚度为 t 的导电片两端面的电阻为 abttdUUdU IURba00S00lneeSJ2电功率在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度 J 可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，dt 时间内有 dq 电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为dW = dU dq于是外电源提供的电功率为 EJdVdddIdUdtdqdUdtdWdPSJlE故电功率体密度2 2 ddJEEJVPp或写成一般形式p = EJ3不同媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件：类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为J1n= J2n 或 en(J2J1)=0E1t= E2t 或 en(E2E1)=0对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律图 电功率的推导电磁场讲稿（3）崔 翔第 3 页2018-3-302121 tgtg 良导体与不良导体分界面上的边界条件：当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设1 2，由折射定律可知，只要1 90，就有2 0。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(20)。换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。导体与理想介质分界面上的边界条件：此时，由于 Jc2n = 0，必然有 Jc1n = 0；且 E1t= E2t，电场强度的切向分量连续。应指出的是，虽然 E1n=Jc1n /1= 0，但 E2n 0，其结果将使导体外表面处的电场强度E2，与导体表面不相垂直，如图所示。然而，分量 E2t与 E2n相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去 E2t分量的影响。即近似为静电场中导体的边界条件。也就是说，当分析载有恒定电流的导体外部电场时，可以应用静电场分析方法。两种有损电介质分界面上的边界条件：如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有nnEE2211同时，还有nnEE1122图 由良导体(1)到不良导体 (2)的电流流向P1J2en 2J121图 输电线电场示意图+ + +UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc112图 两种有损电介质的分界面PJ2J12, 21, 1电磁场讲稿（3）崔 翔第 4 页2018-3-30联立求解，得分界面上自由电荷面密度为nJ2212112 由此可见，只有当两种媒质参数满足条件时，其上表面自由电荷才为零，即2112=0。例 2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数和电导率分别为1，1和2，2，厚度分别为 d1和 d2，外施恒定电压 U0，忽略边缘效应。试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。解：(1) 忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件2211EE又有电压关系02211UdEdE联立求解两式，得， 122102 1ddUE 122101 2ddUE (2)两非理想介质中的电场能量密度分别为， 2 1121 1eEw2 2221 2eEw相应的单位体积中的功率损耗分别为， 2 111Ep2 222Ep(3)分界面上的自由电荷面密度为0 12212112 2 212112UddJ 32 恒定电场与静电场的比拟1静电比拟法将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。图 非理想介质的平板电容器 中的恒定电流场2, 21, 1U0 d2d1电磁场讲稿（3）崔 翔第 5 页2018-3-30均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场0cJ0D- 0EE- 0EEEJcED2 = 02 = 0SdISJcSdqSD显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、电场强度 E 和电流密度 Jc的分布将分别与静电场中的电位、电场强度 E 和电位移矢量 D 的分布相一致。如果场中两种媒质分区均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：2121 则两种场在分界面上的 Jc 线与对应的 D 线折射情况相同。根据以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。这就是静电比拟法。由静电比拟法，有CG因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即 lSlS ddddUIGlESElESJc lSlS ddddUqClESElESD例 1：内外导体半径分别为 a 和 b 的同轴电缆，如图所示导体间外施电压 U0。试图 同轴电缆中的泄漏电流SBA Pb, U0oaJc电磁场讲稿（3）崔 翔第 6 页2018-3-30求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。解：（1）解法一：恒定电场分析法电场强度 E 和泄漏电流密度 Jc均只有径向分量，作一半径为的同轴单位圆柱面，且令单位长泄漏电流为 I，则， 2IJc2IE 内外导体间电压为abIEUUbaln2d0AB由此可知泄漏电流密度为 eJabUln0 cba电缆的单位长绝缘电阻为ab IURln210 （2）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中，已求得电场强度为0abUeE lnba故泄漏电流密度0abUeEJc lnba同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为ab CGRln2111 2接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜Comment cx1: 第七次课结束 作业：3-2，3，4电磁场讲稿（3）崔 翔第 7 页2018-3-30象法得： a2a21drr2i i1 iu G1R3跨步电压电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。对于如图所示的半球形接地器，由镜象法，地面上任意点 P 的电位为 r2Idrr2Idr2PrEr如图绘出了地面电位分布。设人的跨步距离为 b，在距半球中心距离 r 点的跨步电压为2rbrr2Ib r1 br1 2Idrr2IdU BAABlE设 U0为人体安全的临界跨步电压（通常小于 5070V） ，可以确定危险区半径 r0为002UIbr33 恒定磁场的基本方程与场的特性1恒定磁场的基本方程由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为cJH (a) 电流线 J 的分布 (b) 镜象法图示 图 半球形接地器 土壤土壤aai2i土壤aobrIJA BaI 2rP图 跨步电压与危险区的分析orE22rI 电磁场讲稿（3）崔 翔第 8 页2018-3-30I3I1lI2I40S图 环量与激磁电流 I 间关系说明图llBd0B媒质的构成方程为 HB2恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，在恒定磁场问题磁感应强度矢量 B 与传导电流密度 Jc之间的关系为c0JB上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。利用斯托克斯定理，得安培环路定律： n1kk0 S0 lIddSJlBc式中，电流 Ik 正负，取决于电流方向与积分回路绕行方向是否符合右手定则。当方向相符时为正；反之取负值。如图，有：)(3210 lIIIdlB3恒定磁场的无散性基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，具有无散(无源)性。磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。4矢量磁位的引入由亥姆霍兹定理，磁感应强度 B(r)应为)()()(rArrB式中 V0Vd41 rrrBr)( Vc0Vc0VVdR4Vd4Vd41J rrJ rrrBrA式中 A 称为矢量磁位。在 SI 单位制中，矢量磁位的单位是韦伯/米(Wb/m)。需要说明电磁场讲稿（3）崔 翔第 9 页2018-3-30的是矢量磁位 A 不是一个物理量，不能被测量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。对于不同形式的电流源，有：体电流 Jc： V0VdR4rJrAc)(面电流 K： )(S0dSR4rKrA线电流 I： )(l0 Rd 4IlrA5磁感应强度表达式上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数 A 的旋度。若已知 Jc(r)，可以先计算矢量磁位 A，然后再通过计算 A 旋度计算磁感应强度 B。即 V0VdR4rJArBc)(由矢量恒等式，得 2R cc2R RRR1 R1 RerJrJerJrJrJccc )()(将上式代入 B，得 V2R0VdR4erJrBc)(这正是毕奥沙伐定律。由该定律可以直接计算电流源在自由空间的磁感应强度 B。对于不同形式的电流源，有：体电流 Jc： V2R0VdR4erJrBc)(面电流 K：