大学生电脑主页大学生电脑主页 dxsdiannao.com 大学生的百事通大学生的百事通线性代数线性代数课程教案课程教案一一课程名称：线性数学课程名称：线性数学 i i LINEARLINEAR ALGEBRAALGEBRA i i 二二学时与学分：学时与学分：54 学时 3 学分 三三适用专业：适用专业：计算机、测绘、房地产等专业。 四课程教材课程教材：线性代数 ，第 2 版. 金朝嵩等编，重庆大学出版社 1居马余等编， 线性代数 ，清华大学出版社，1995。 2同济大学编， 线性代数 ，同济大学出版社， 1992。 3谢云孙等编， 线性代数与解析几何 ，高等教育出版社， 1999。 五五上课教师：上课教师：数理学院线性代数公共课教师 六六课程的性质、目的和任务：课程的性质、目的和任务：线性代数是工科大学生最重要的基础理论课之一，它作为 工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。任务： 通过本课程的学习，使学生理解行列式、矩阵、线性空间等基本概念；掌握基本的运 算技巧；使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推 理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力， 能用数学的语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和方法；培 养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后 学习其它学科打下良好的基础。 七、教学方式（手段）教学方式（手段）：主要采用讲授新课的方式第一章第一章 线性空间线性空间一、一、 教学目标与基本要求教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质.1 线性空间的定义及例线性空间的定义及例 定义定义 1.1.1 设 V 是一个非空集合,其元素用 x、y、z 等表示.V 被称为一个线性空间线性空间, 如果它满足以下被分为三组由 10 条公理构成的公理体系:1.1.1 封闭公理 公理 1(加法封闭公理)在 V 中定义了加法运算:对于 V 中任意两个元素 x 和 y,有唯一 的 V 中的元素与之对应并被称为 x 与 y 的和,记为 xy. 公理 2(数乘封闭公理)在 V 中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于 V 中任意元素 x 和 任意实数 a,有唯一的 V 中的元素与之对应并被称为 a 与 x 的积,记为 ax.大学生电脑主页大学生电脑主页 dxsdiannao.com 大学生的百事通大学生的百事通加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2 加法公理 公理 3 (交换律) 对于任意 x,yV,有.xyyx公理 4(结合律) 对于任意 x,y,zV,有.)()(zyxzyx公理 5 (零元素存在性)V 中存在一个记为的零元素,对于任意 xV,有.xx 公理 6 (负元素存在性)对于任意 xV,V 中存在记为的 x 的负元素,使x.xx)(1.1.3 数乘公理 公理 7(结合律) 对于任意 xV,任意实数 a 和 b,有.xx)()(abba公理 8 (加法分配律)对于任意 x,yV 及任意实数 a,有.yxyxaaa)(公理 9(实数相加分配律)对于任意 xV,任意实数 a 和 b,有.xxxbaba )(公理 10(单位元素存在性)对于任意 xV,有.xx 1 以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算 也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素 可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间 中也成立. 从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差定义为.yx )( yx(3)如果,则或.x a0ax (4)；x 0 a)()()(xxxaaa(5)若 axay 且,则 xy.0a (6)若 axbx 且,则 ab.x (7).yxyxyx)()()(8),一般地有:n 个 x 相加等于 nx.xxx2xxxx3 定义 1.1.2 设 V 是一个线性空间,S 是 V 的一个非空子集.如果 S 对于 V 中定义的加大学生电脑主页大学生电脑主页 dxsdiannao.com 大学生的百事通大学生的百事通法和数乘也构成一个线性空间,则称 S 为 V 的子空间. 推论:线性空间 V 的非空子集 S 成为 V 的子空间的充分必要条件是:S 中加法和数乘两 种运算满足封闭公理. 定义 1.1.3 设 S 是线性空间 V 的一个非空子集.集合xx S；R；k 是任意正整数 kiia1ikxx, L1kaa, L1被称为 S 中元素的有限线性组合.由于这是 V 的一个子空间,故又被称为 S 生成的子空间, 记为 L(S)2 线性空间中的相关集和独立集线性空间中的相关集和独立集 定义 1.2.1 设 S 是线性空间 V 的一个子集合.如果 S 中存在由不同元素构成的有限集,以及不全为零的一组数,使1kxx, Lkaa, L1x (1.2.1) kiia1i则 S 称是相关集(又称线性相关集).当不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素的一种非平凡表示.kaa, L1若 S 不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于 S 中任意选定的不同元素,等式x蕴涵了,则 S 是独立集.kxx, L1 kiia1i01kaaL定理 1.2.1 设 S是线性空间 V 中 k 个元素构成的独立集,L(S)是 S 生成1kxx, L的子空间.则 L(S)中任何 k1 个元素构成的集合是相关的.3 基基 维数与坐标维数与坐标定义 1.3.1 设 S 是线性空间 V 中的一个有限集.若 S 是独立集且 V 由 S 生成,则称 S 是 V 的一组有限基.若 V 有一组有限基或 V 只含零元素,则称 V 为有限维空间；否则称为无 限维空间. 定理 1.3.1 设 V 是有限维线性空间,则 V 的任何一组有限基与别的有限基所含元素个 数相同. 定义 1.3.2 若线性空间 V 有一组由 n 个元素组成的基,则称整数 n 为 V 的维数,记为dimV.若,则规定 dimV.nV0R 的维数是 n(这是称 R 为 n 维向量空间的缘由),是其一组基,被称为 Rnn1nee, L的常用基.n定理 1.3.2 设 V 是 n 维线性空间,则(a)V 中任何独立集必是 V 的某组基的子集； (b)V 中任何由 n 个元素组成的独立集必是 V 的一组基.大学生电脑主页大学生电脑主页 dxsdiannao.com 大学生的百事通大学生的百事通定义 1.3.3 在维线性空间 V 中,给定确定了元素顺序的一组基,则对任n1nee, L意 xV,有x.iniic e 1(称 x 可表为这组基的线性组合,或称 x 可被这组基线性表示)其中系数是由元素ncc, L2x 及这组基唯一确定的.这组系数就被称为 x 在基下的坐标,记为.1nee, L)(1ncc, L4 4 内积内积 欧氏空间欧氏空间 范数范数定义 1.4.1 设 V 是实线性空间.如果对于 V 中任意元素 x 和 y,对应着唯一的实数,记 为(x,y),满足以下 4 条公理:公理 1(对称性) , )()(xyyx,公理 2(加性) ,任意 zV,)()()(zyyxzyx,公理 3(齐性) ,任意cR,)()(yxyx,cc公理 4(正定性) 0,当且仅当 x时,)(xx,0)(xx,则称是 x,y 的内积.并称 V 是一个欧几里德(Euclid)空间,简称欧氏空间.)(yx,定义 1.4.2 在欧氏空间中,非负实数被称为元素 x 的范数,记为.)(xx,| x为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理. 定理 1.4.1(柯西许瓦兹(CauchySchwarz)不等式) 在欧氏空间中,有.| )( |yx,| x| y这里 x,y 是该空间中任意元素.当且仅当 x 与 y 相关时,上式取等号. 定义 1.4.3 在欧氏空间中,任意两非零元素 x 和 y 之间的夹角(0)按下式 定义.| | )(cosyxyx,注意:正是柯西许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性. 关于范数,本书将作较深入的讨论. 定理 1.4.2 在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1) 0,当且仅当,(正定性)；| xx 0|x(2) (正齐性)；|ccx| x大学生电脑主页大学生电脑主页 dxsdiannao.com 大学生的百事通大学生的百事通(3) (三角不等式).|yx | x| y这里, x,y 是该空间任意元素,c 是任意实数.5 欧氏空间中的正交性定义 1.5.1 设是 V 一个欧氏空间.对于任意 x,yV,如果,则称 x 与 y 正交.又:0),(yx设 S 是 V 的一个子集,若对于任意相异的 x,yS 有,则称是 S 一个正交集.若一0),(yx个正交集中任何元素的范数均为 1,则称它是一个标准正交集. 显然,零元素与 V 中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素. 下面的定理表明了正交和独立之间的关系. 定理 1.5.1 在欧氏空间 V 中,一个不含零元素的正交集是独立集.若 dimVn，则任何 一个包含 n 个非零元素的正交集是 V 的一组基.定理 1.5.2 设 V 是有限维欧氏空间, dimVn，是 V 的一组正交基.对1nSee, L于任意 xV,若 x 关于基 S 的坐标是,则)(1ncc, L,.)()(jjj jceeex,nj, L1若进一步假设 S 是一组标准正交基,则,.jc)(jex,nj, L1定理 1.5.3 设 V 是一个维欧氏空间,是 V 的一组标准正交基.对于任意 x,y1nee, LV,若设 x,y 在这组基下的坐标分别是,则有)(1naa, L)(1nbb, L(1.5.1)( )()(1iniieyexyx, niiiba1. (1.5.2) niniiia11222| )( |exx,定理 1.5.4 设是欧氏空间 V 中的一个有限或无限序列,表示21L,xx)(1kLxx, L由该序列前个元素生成的子空间.那么,V 中存在序列,对于可能取到正整数,具k21L,yyk有以下性质:(1) 元素与中任意元素正交；ky)(11-yykL,， L(2) ；)()(11kkLLxxyy,，,，LL(3)除去数量因子,序列是