- 1 -等差数列与等比数列测试题等差数列与等比数列测试题1.在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73. （）求数列an的通项公式； （）对任意 mN，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为 bm，求数列bm 的前 m 项和 Sm。2.已知等差数列na的前 5 项和为 105，且2052aa.()求数列na的通项公式；()对任意*mN，将数列na中不大于27m的项的个数记为 mb.求数列mb的前m项和mS.3、设 na是等差数列，已知，1( )2na nb 12321 8bbb1 2 31 8bb b 求等差数列 na的通项公式。4、设数列 na为等差数列，为数列 na的前 n 项和，已知,为数列nS7157,75SSnT的前 n 项和，求。nSnnT5、设nS为数列na的前n项和，2 nSknn，*nN，其中k是常数（I） 求1a及na；（II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值- 2 -6、设数列na的通项公式为(,0)napnq nNP. 数列 nb定义如下：对于正整数m，mb是使得不等式nam成立的所有n中的最小值.（）若11,23pq ，求3b；（）若2,1pq ，求数列mb的前 2m项和公式；（）是否存在p和q，使得32()mbmmN？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.7、等比数列na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN ，点( ,)nn S，均在函数(0xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1()4n nnbnNa 求数列 nb的前n项和nT8、已知 na是公差为 d 的等差数列， nb是公比为 q 的等比数列（1）若 31nan，是否存在*,m nN，有1mmkaaa？请说明理由；- 3 -（2）若n nbaq（a、q 为常数，且 aq0）对任意 m 存在 k，有1mmkbbb，试求 a、q满足的充要条件；（3）若21,3nnnanb试确定所有的 p,使数列 nb中存在某个连续 p 项的和是数列中 na的一项，请证明.- 4 -参考答案参考答案1. （）因为是等差数列，由 a3+a4+a5= 得设数列的公差为 d，由 na4384,a 428,a a9=73，得，于是9,45549daad12728341daa，即.899) 1(1nnan89 nan（）对任意 mN，则，mmn29899899892mmn即，而，由题意可知，989989121mmn*Nn11299mm mb于是)999(9991101231 21mm mmbbbSLLL，89 8019 8019109 819 8099 9191 9199121212212mmmmmmmm 即.89 801912mmmS2. 解：解：(I)设数列的设数列的公差为公差为 d d，前，前 n n 项和为项和为，则，则由2052aa得：nT5105,T 111510105,92(4 ),adadad 解得17,7ad,所以通项公式为7(1) 77nann.(II) 任意*mN，若277m nan，则217mn，即217m mb.21 1 217497m k m kb b ，mb是首项为 7，公比为 49 的等比数列，7(149 )7(491)14948m m mS.3、解： an为等差数列 bn为等比数列 b1b3=b22 b23= b2=81 21 或 41bb817bb213181b2b312b81b21 或 n231n n2)41(2b5n21n n2481b na n)21(bn 21nbloga- 5 - an=2n-3 或 an=-2n+54、解：法一：利用基本元素分析法设an首项为 a1，公差为 d，则 75d21415a15S7d267a7S11517 1d2a1 此式为 n 的一次函数2) 1n(n2Sn25 2n 21n2nSn 为等差数列 nSnn4an41T2 n法二：an为等差数列，设 Sn=An2+Bn 解之得： 75B1515AS7B77AS2 152 7 25B21A ，下略n25n21S2 n5、解：（）当1, 111kSan，12)1() 1(, 222 1kknnnknknSSannnn（）经验，, 1n（）式成立， 12kknan（）mmmaaa42,Q成等比数列，mmmaaa42 2.，即) 18)(12() 14(2kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk，对任意的 Nm成立， 10kk或6、解：（）由题意，得11 23nan，解11323n，得20 3n .11323n成立的所有n中的最小整数为 7，即37b .（）由题意，得21nan，对于正整数，由nam，得1 2mn.根据mb的定义可知当21mk时，* mbk kN；当2mk时，*1mbkkN. 1221321242mmmbbbbbbbbbLLL1232341mm LL- 6 -213222m mm mmm.（）假设存在p和q满足条件，由不等式pnqm及0p 得mqnp.32()mbmmN,根据mb的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132mqmmp ，即231pqpmpq 对任意的正整数m都成立.当310p （或310p ）时，得31pqmp （或2 31pqmp ） ，这与上述结论矛盾！当310p ，即1 3p 时，得21033qq ，解得21 33q . 存在p和q，使得32()mbmmN；p和q的取值范围分别是1 3p ，21 33q .7、解：因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.所以得n nSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,111 1()(1)nnnnn nnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列, 所以1r , 公比为b, 所以1(1)n nabb（2）当 b=2 时，11(1)2nn nabb, 11111 44 22nnn nnnnba则23412341 2222nnnTL3451212341 222222nnnnnTL相减,得2345121211111 2222222nnnnTL31211(1)1122 12212nnn 12311 422nnn所以1131133 22222nnnnnnT- 7 -因此819819nnSnn nn nSnn nn n ，或8、解：（1）由1,mmkaaa得6631mk，整理后，可得42,3kmmQ、kN，2km 为整数不存在n、kN，使等式成立。（2）当1m 时，则23 12,k kb bbaqaq3,kaq即caq，其中c是大于等于2的整数反之当caq时，其中c是大于等于2的整数，则n c nbq，显然121 2 1m cmcmc mmkbbqqqb ，其中21kmc a、q满足的充要条件是caq，其中c是大于等于2的整数（3）设12mmmpkbbbaL当p为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数，当p为偶数时，(*)式不成立。由(*)式得13(1 3 )211 3mp k，整理得13(31)42mpk当1p 时，符合题意。当3p ，p为奇数时，31(12)1pp 011221122121222222212222222 222pp pppppp ppppp ppppp pppCCCCCCCCCCCCCp LLLL 由13(31)42mpk，得 12222322221mpp pppCCCpkL当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立。当p为奇数时，命题都成立。