三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法第六节直接证明和间接证明知识能否忆起一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示PQ1Q1Q2QnQ QP1P1P2得到一个明显 成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证二、间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法小题能否全取1(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60”时，应假设( )A三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 60解析：选 B 假设为“三个内角都大于 60” 2设 alg 2lg 5，bex(x0)，则 a 与 b 大小关系为( )Aab BabCab Dab三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法解析：选 A alg 2lg 5lg 101，bex1，则 ab.3命题“对于任意角 ，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了( )A分析法 B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：选 B 因为证明过程是“从左往右” ，即由条件结论4用反证法证明命题“如果 ab，那么”时，假设的内容是_3a3b解析：“如果 ab，那么”若用反证法证明，其假设为 .3a3b3a3b答案： 3a3b5如果 abab，则 a、b 应满足的条件是_abba解析：abab()2()0a0，b0 且 ab.abbaabab答案：a0，b0 且 ab1.证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法(2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决但在证明过程中，注意文字语言的准确表述2使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设” ，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾综 合 法典题导入例 1 (2011大纲全国卷)设数列an满足 a10 且1.11an111an(1)求an的通项公式；(2)设 bn，记 Snk，证明：Snbc，且abc0，求证0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.6不相等的三个正数 a，b，c 成等差数列，并且 x 是 a，b 的等比中项，y 是 b，c 的等比中项，则 x2，b2，y2三数( )A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列解析：选 B 由已知条件，可得Error!由得Error!代入，得2b，x2by2b即 x2y22b2.故 x2，b2，y2成等差数列7设 a2，b2，则 a，b 的大小关系为_327解析：a2，b2两式的两边分别平方，可得 a2114，b2114，32767显然，.ab.67答案：ab8(2012黄冈质检)在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A 为钝角的结论，则三边 a，b，c 应满足_解析：由余弦定理 cos A0，b2c2a22bc所以 b2c2a20，即 a2b2c2.三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法答案：a2b2c29(2012肇庆模拟)已知点 An(n，an)为函数 y图象上的点，Bn(n，bn)为函数x21yx 图象上的点，其中 nN*，设 cnanbn，则 cn与 cn1的大小关系为_解析：由条件得 cnanbnn，n211n21ncn随 n 的增大而减小cn10.显然成立故原不等式得证2(2012邯郸模拟)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)解析：若 a ，b ，则 ab1，1223但 a2，故推不出；若 a2，b3，则 ab1，故推不出；对于，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1.三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法答案：3已知二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点若 f(c)0，且 0xc 时，f(x)0.(1)证明： 是函数 f(x)的一个零点；1a(2)试比较 与 c 的大小1a解：(1)证明：f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)0 有两个不等实根 x1，x2.f(c)0，x1c 是 f(x)0 的根又 x1x2 ，cax2，1a(1a c) 是 f(x)0 的一个根1a即 是函数 f(x)的一个零点1a(2)假设 c， 0，1a1a由 0xc 时，f(x)0，知 f0，(1a)这与 f0 矛盾， c.(1a)1a又 c， c.1a1a1已知非零向量 a，b 且 ab，求证：.|a|b|ab|2证明：abab0，要证，|a|b|ab|2只需证|a|b|ab|，2只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证2已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数 yx21 的图an象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.2n1解：(1)由已知得 an1an1，则 an1an1，又 a11，所以数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列故 an1(n1)1n.(2)证明：由(1)知，ann，从而 bn1bn2n.bn(bn bn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.12n12因为 bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)22n1(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以 bnbn2b.2n1