航海专业数学基础航海专业数学基础第一章 航海专业数学基础第一节 球面三角一球面几何1球面和球面上的园1）球面和球球面(spherical surface)：半个圆周绕其直径旋转 360 而成的旋转面称球面。球：球面所包围的几何体称球。球的半径：球的直径：2）球面上的圆（1）大圆(great circle)：过球心的平面和球面相截的截痕。（2）小圆(small circle)：不过球心的平面和球面相截的截痕。过球面上不在同一直径两端的任意两点，只能有一个大圆，却能作无数个小圆。一个球面上不可能有两个大圆平行，两个大圆的平面的交线是他们的直径，并且两个大圆互相平分。 2球面角和球面距离1）轴、极、极距、极线（1）轴(axis)：垂直于任一圆面(大圆或小圆)的球直径。（2）极(pole)：轴与球面相交的两点。（3）极距(polar distance)：从大圆弧或小圆弧上的一点到极的大圆距离，又称该圆的球面半径。球面半径并非球的半径。（4）极线：极距为 90 的大圆弧又称为极线或称为赤道(equator)。2）球面角及其度量（1）球面角(spherical angle)：球面上由两个大圆弧所构成的角。其交点叫做球面角的顶点。（2）球面角的三种度量方法：切于顶点的大圆弧的切线的夹角。顶点的极线被其两边大圆弧所截的弧长。极线上的弧所对应的球心角。3）球面距离的距离和最近距离（1）球面距离：连接球面上两点的大圆弧长，以大圆弧所对应的球心角用度、分、秒来度量。（2）球面上两点间的最近距离：过球面上两定点间小于 180o 的大圆弧(劣弧)。4）圆心角相等的大圆弧与小圆弧的长度关系。结论：地球纬度圈与赤道的长度关系：例题见教材。二球面三角形1球面三角形(spherical triangle)1）球面三角形及其六要素球面三角形：在球面上由三个大圆弧所围成的三角形称为球面三角形。球面三角形六要素:构成球面三角形的三个角和三个边。航海上研究的是六个要素均大于 0o 而小于 180o 的欧拉球面三角形。天文定位实质上就是解天文球面三角形。2)球面三角形的分类（1）球面等腰三角形和球面等边三角形。两边或两角相等的三角形称球面等腰三角形。三边或三角都相等的三角形称球面等边三角形。（2）球面直角三角形和球面直边三角形。至少有一个角为 90o 的球面三角形称为球面直角三角形。至少有一个边为 90o 的球面三角形称为球面直边三角形。（3）球面初等三角形(primary triangle)。三个边相对于其球半径来说非常小的球面三角形称为球面小三角形(三个角不会很小)；只有一个角及其对边均甚小的球面三角形称为球面窄三角形；而球面小三角形和球面窄三角形统称为球面初等三角形。（4）球面任意三角形。凡不具有特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形。3）球面三角形的关系（1）球面全等三角形。在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形。（2）球面相似三角形。在半径不同的球面上，边角度数对应相等的三角形。（3）球面对称三角形从球面三角形的三顶点作直径与球面交得另外三个顶点，相连得到另一球面三角形。（4）球面极线三角形(polar triangle)。球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形，称为球面三角形的球面极线三角形。4）球面三角形的性质（1）球面三角形与三面角的关系（2）球面三角形的每一边必大于 0o 而小于 180o，三边之和大于 0o而小于 360o（3）球面三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（4）球面三角形的每一角必大于 0o 而小于 180o，三个角的和大于180o 而小于 540o（5）球面三角形三角之和超出 180o 的部分称为球面盈角。（6）球面三角形两角之和减去第三角小于 180o（7）球面三角形的外角小于相邻的两内角之和而大于它们之差。5）球面三角形的成立条件（1）当给定了球面三角形的三个边时：任一边应大于 0o，小于 180o；三边之和大于 0o，小于 360o；二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。（2）当给定了球面三角形的三个角时：任一角应大于 0o，小于 180o；三角之和大于 180o，小于 540o；二角之和减去第三角小于 180。（3）若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于 0o，小于 180o 的条件，球面三角形都成立。（4）若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角，则该三角形是否成立，情况比较复杂。2解球面三角形（1）余弦公式(cosine formula):边的余弦公式是：cosa=cosbcosc+sinbsinccosAcosb=cosacosc+sinasinccosBcosc=cosacosb+sinasinbcosC一个边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。角的余弦公式是：cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosacosB=-cosCcosA+sinCsinAcosbcosC=cosAcosB+sinAsnBcosc一个角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦的乘积。（2）正弦公式(sine formula)：各边的正弦与其对角的正弦成比例。（3）余切公式即四联公式(four parts formula)： ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosbctgasinc=ctgAsinB+cosBcoscctgbsina=ctgBsinC+cosCcosactgbsinc=ctgB+cosAcoscctgcsina=ctgCsinB+cosBcosactgcsinb=ctgCsinA+cosAcosb外边余切内边正弦的乘积等于外角余切内角正弦的乘积加上内边内角余弦的乘积。四联公式可以转化，例：ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC可转化成： ctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC3球面直角三角形公式和球面直边三角形公式: （“大“字法则）1）球面直角三角形(right-angled triangle)公式:任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积。若已知 a 和 b，求 c。按任一要素的正弦等于与其相隔二要素余弦乘积的法则，可得：sin(90o-c)=cosacosbcosc=cosacosb又若已知 A 和 B，求 c。按任一要素的正弦等于与其相邻二要素正切乘积的法则，可得： sin(90o-c)=tg(90-A)tg(90-B)cosc=ctgActgB2）球面直边三角形(quadrantal triangle)公式：任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积。若等式右边的正切和余弦的乘积中，遇有两个要素都是边或都是角时，则在乘积之前冠以负号。4球面初等三角形1）球面小三角形其特点是：A三边相对球半径甚小；B三角不会很小；C三角和接近 180；D其面积接近平面面积。一般可将球面小三角形视为平面三角形进行近似计算。2）球面窄三角形其特性是：A一边 a 相对球半径甚小；B小边的对角 A 也很小；C另外两边的差很小（两边近似相等 bc）;D小边的邻角等于另一邻角的外角，BC 外。3）解球面窄三角形，已知小边 a 与其邻角 B 及边 c，而需要求角 A 及边 b。（1）求 b 边的第一近似公式和第二近似公式；（2）求角 A 第一近似值和第二近似值公式在第一近似值不能满足高精度要求时，可求第二近似值。4） 度与弧度的换算关系如下：弧度1 弧度某一角，其值用度或分制单位表示为或，用弧度制单位计量，则它们之间的关系为：x 弧度arc1=(1的弧度值)0.01745 弧度arc1=(1的弧度值)=0.00029 弧度上式则可写成： x 弧度xarc1=xarc15球面三角形的解法1）画图法：根据该三角形的已知条件，画出示意图，求出未知量例：已知 a=50?,b=70?,C=120? 画图求 c A B解：在球上取 B、C 两点，使 BC=a50?,过 C 点作与 BC 夹角 120?的大圆弧在大圆弧上取 CA=70?=b用大圆弧连接 BA则三角形 ABC 即为所求球面三角形在此三角形上量出 c=105?,A=75?,B=70?2）公式法：根据已知条件，选择合适的公式，求出未知量。有以下几种解法：三角函数对数表法-已经淘汰。查表法-天文中讲。计算器解算法-用得最多，这里只讲此方法。第二节 观测误差一、观测误差的种类、性质与处理方法1观测定义：观测也称测量。它是将所求量与作为测量单位的同类量作比较而得出测定值，是一个较复杂的过程。按观测条件及观测结果的质量，分类：等精度观测和非等精度观测。2误差：观测值与所观测量的真值之间的差值。1）误差=观测值-真值2）产生观测误差的主要原因有：人为过失测量仪器的不完善测量方法不准确测者感观上的缺陷环境条件的影响所用的计量单位不能量尽被测量的量3误差的种类观测误差按其性质可分为：1）粗差(mistake)：由于观测方法的谬误或者由于观测者的粗心大意等过失而产生的误差。如看错物标，读错读数，以及测量方法上的错误等等。2）系统误差(systematic error)：它服从于一定的函数关系。在同一条件下反复观测时，它不改变数值和符号；在条件变化时，误差或保持不变，或按一定的规律变化着。如存在于罗经中的基线误差或罗经差、六分仪中的指标差、计程仪改正率、以及天体高度改正等都属于系统误差。3）偶然误差(随机误差,random error)：其个别值不服从任何一定的函数关系。在同一观测条件下，它不断地改变数值和符号。随着观测次数增多，它产生的原因是临时性的、偶然性的和随机性的。从总体上看，呈现出统计学上的规律，观测次数越多，这种规律性越明显。如测量值中的观测误差和凑整误差、航向不稳而引起的误差，船舶摇摆而引起的观测误差等都属于偶然误差。基本特征：A 在一定的观测条件下，偶然误差的数值有一个限度；B 绝对值小的误差出现机会比绝对值大的误差出现机会较多；C 绝对值相等的正误差与负误差，其出现的机会相等。D 当观测次数无限增多时，误差的算术平均值趋于零。4误差的处理方法观测误差的消除和削弱的方法，是根据误差的种类不同而不同。1）粗差：一般用重复观测或检核计算的方法来发现和消除它，对观测者来说应该尽可能地避免发生和排除粗差的产生。2）系统误差的消除，通常采用下列两种方法：A 解系统误差的规律，针对既定情况，将它求出或测出，然后对观测结果加以改正消除它。如仪器的零点差、某地区的磁差、一定航向上的自差、计程仪的误差、天体高度天文蒙气差等等。B 直接求出该系统误差，而是采用适当的测量方法和步骤，将它的影响消除掉。如三方位陆标定位时，就是消除系统误差的方法。3）偶然误差：对偶然误差性质的了解、规律的掌握和由此所采取的相应措施，可使我们在一定程度上削弱它的影响。二、观测的最概率值及其精度1偶然误差的概率分布偶然误差服从正态分布密度函数?(?)=式中： ?偶然误差值；m该观测组的均方误差(standard error)。从函数分析可知：1) f(?)为偶函数，在?=0 处，曲线有一高峰?(?)= ，由高峰向两边对称下降，其拐点位置在?=?m 处，下降到两端趋于平缓，并以横轴为渐近线。这曲线反映了观测偶然误差的基本特征。2) 当观测值的均方误差改变时，曲线的峰值、形状也随着改变。m 减小峰值增加，但曲线以下面积仍等于 1，所以曲线两边很快趋近横轴(如图 1-2-2 所示)。m 值愈小，表示观测组中绝对值小的误差愈多，则观测愈精确。2、 观测误差尺度及其概率1) 误差尺度的选择衡量的几种尺度：(1) 误差的算术平均值利用高斯符号表示，不能作为衡量误差的尺度。(2) 误差绝对值