13-1习 题 十 三13-1 求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4aIB对于导线 1：，因此0122aIB 40 1对于导线 2：，因此2102BaIBBB 40 21p方向垂直纸面向外。 (b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4aIB对于导线 1：，因此，方向垂直纸面向内。0122rI aIB 4400 1对于导线 2：，因此，方向垂直纸面向内。212rI aIB 4400 2半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的 圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即，方向垂直纸面向内。rI rIB422100 3所以，rI rI rI rI rIBBBB4244400000 321p (c) P 点到三角形每条边的距离都是ad63，o301o1502每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 aI dIB 23150cos30cos40000 0故 P 点总的磁感应强度大小为aIBB 2930 0方向垂直纸面向内。13-213-2 有一螺线管长 L20cm，半径 r=2.0cm，导线中通有强度为 I=5.0A 的电流，若在螺线管轴线中点处产生的磁感应强度 BT 的磁场，问该螺线管每单位长度应多310166.少匝? 解 已知载流螺线管轴线上场强公式为120coscos2nIB由图知： ， 10410cos2 10410cos1所以， 10410220nIB所以， 1000101040IBn13-3 若输电线在地面上空 25m 处，通以电流A。求这电流在正下方地面处产生31081.的磁感应强度。 解输电线可看作无限长直导线，直线电流所产生的磁场为：BrI 20T1044. 1252108 . 1104537 13-4 在汽船上，指南针装在距载流导线 0.80m 处，该导线中电流为 20A。(1)将此导线作 无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北)为 T。由于电流磁场的影响，指南针的 N 极指向要偏离正北方向。如果电流41018. 0的磁场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽 船中的指南针的 N 极将偏离北方多少度? 解 (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为T100 . 580. 020102 267 0 1 TrIB(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量垂直，指南针偏离正北方向2B的角度为，则28. 01018. 0100 . 5tan4621BB13150设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为， 12112sinsinBBO 1 213-3两边微分后可得122121 coscos dd BB为求的最大值，令，则有1m0dd210cos222因此 28. 0sin21 mBB8160m13-5 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I，方向如图所示。求中心 O 处的磁感应强度。 解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆盘，设单位长度线圈匝数为 nrRNn建立如图坐标，取一半径为 x 厚度为 dx 的 圆环,其等效电流为:xrRNIxjIddd)(2d 2dd00 0rRxxNI xIBrR rRNI rRxxNIBBRr NIln)(2)(2dd00 00方向垂直纸面向外.13-6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=如图m100 . 12 所示。求轴线上一点的磁感应强度。 解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线， 取一微元 dl则IRlIdd 则在 O 点所产生的磁场为l d2200 2d 2ddRlI RIB 又因，ddRl 所以，RI RIB200 2d 2dd ，cosddxBB sinddyBB Orx煤 RyxdldB 13-4半圆筒对 O 点产生的磁场为：，0 0xxdBBRIBB200yyd所以只有方向分量，即，沿的负方向。ByRIBB20 yy13-7 如图所示，长直导线通有电流 I，求通过与长直导线共面的矩形面积 CDEF 的磁通量。解 建立如图所示坐标，在矩形面积上任取一微元，设顺时针方向为正,则SdxlSdd长直导线形成的磁感应强度为: xIB 20xlxId2dd0 SBabIlxxIlbaSln2d2d00 13-8 长直导线与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a，另一直导线沿半径方向与aa bb 圆环接于点 b，如图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1)求圆环中心点 O 的 B。(2)B 沿闭合路径 L 的环流等于什么? Ll dB解 (1)43210BBBBB其中: 04BRIB 40 1,RIBRIB231,23230 320 22332 ll II故与大小相等,方向相反,所以2B3B032 BBalxobx煤 I0120 ORabab12 3413-5因而,方向垂直纸面向外.RIBB 40 10(2)由安培环路定理,有:3)32(d00i0IIII LlB13-9 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺 绕环截面的磁通量为210ln2DDNIh 证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元xhSdd以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r，2212DrDNIrB02dlBrNIB 20SBdd所以 210220ln2d2dd12DDhNIrhrNISBDD 13-10 试证明在没有电流的空间区域内，如果磁感应线是一些同方向的平行线，则磁场一 定均匀。 证明 在 B 线同方向平行的磁场中，作如图的矩形回路 abcda，其 ab 边与 B 线平行。由于回路中无电流，所以安培环路定理给出0dLLB又addccbbaLLBLBLBLBLBddddd21其中及因所以其值为零。cbLB dadLB dlBd故0ddd21dcbaLLBLBLB因为磁感应强度 B 是垂直于通过单位面积的磁通量即磁通密度，所以 B 线平行的磁场中，ab 线上 B 处处等于，cd 线上 B 处处等于，因此有1B2B021cdabBB又 所以cdab 21BB 由于矩形回路的位置和宽度不限，此式均可成立。所以，在没有电流的空间区域内， 若 B 线是同方向平行的直线，则磁场一定均匀。Oxdx xBdcba13-613-11 如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b，导体内通有电流 I，且电 流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a4.5cm，即在区时， 0III所以 0B13-13 厚为 2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为 j，求空 间磁感应强度的分布。 解 建立如图所示的坐标系,对板内,取安培环路 abcd则 xljBl L22d0LB所以 jxB0对板外,取安培环路,则有:dcbaI L0dLB即 dl jlB220所以jdB013-14 一根半径为 R 的长直导体圆柱载有电流 I，作一宽为 R 长为 l 的假想平面 S，如图所示。若假想平面 S 可在导体直径和轴所确定的平面内离开轴移动至远处，试求OO OO 当通过面 S 的磁通量最大时平面 S 的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。解 rR时：2 2001drRIIlB即22012RrIrB20 12 RIrBrR时： I02dlB即IrB022rIB 20 2当假想平面的内边界离轴 x 时OO RxRIlxRRIlrlrIrlrRIxRRRxln221 2d2d2022 200 20 令 001 224dd0 20RxIlxRIl x (舍)Rx215 1Rx215 2xyabcdabcdxB13-8对求二阶导数 ，说明载流平面的磁场的方向与所放入的均2B1BB匀磁场的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说0B明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为 j。则jBBBB000121jBBBB000221由此二式解得 ， 21021BBB12 01BBj在载流平面上沿电流方向取长为 h、宽为 dl 的条形面积，面积 dS=hdl，面积上电流 dI=jdl，此电流受到的磁力大小为 SBjlBjhIBhFdddd载流平面单位面积所受磁力大小为 2 12 2 01212 021 21 ddBBBBBBBjSF方向为垂直于平面向左。13-20 磁场中某点处的磁感应强度，一电子以速度T20. 040. 0jiB通过该点。求作用在该电子上的磁场力。sm100 . 1105 . 066jiv解 由洛仑兹力公式,有N10810 02 . 04 . 000 . 15 . 0106 . 114619kkji BvF q13-21 质子和电子以相同的速度垂直飞入磁感应强度为 B 的均匀磁场中，试求质子轨道半径电子轨道半径的比值。1R2R13-11ORdB evx解 由粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径公式qBmvr 3 3027 1084. 11091. 01067. 1 mmBqvmBqvmRR13-22 估算地磁场对电视机显像管中电子束的影响。假设加速电压为，电子枪V100 . 24 到屏的距离为 0.40m。试计算电子束在的横向地磁场作用下，约偏转多少?假T1050. 04 定没有其它偏转磁场，这偏转是否显著?解 电子动能 eUmv 2 21式中 U 为加速电势差。电子的速度大小为sm104 . 8sm101 . 9100 . 2106 . 1227 31419 meUv在横向地磁场的作用下，电子沿弧形轨道运动，轨道半径为m6 . 9m105 . 0106 . 1104 . 8101 . 9419731 eBmvR设电子枪到屏的距离为 d，由图可知，电子到达屏时，它的偏转距离为mm2m102m2 . 06 . 96 . 932222dRRx相对于电子枪到屏的距离，这偏转不算显著。13-23 一块半导体的体积为，如图示。沿 x 方向有电流 I，在 z 方向有均匀磁场cba