1利用导数研究存在性与任意性1对对，都有，都有令令，则，则；，都有，都有；，都有，都有；2，使得，使得，则，则；，使得，使得；，都有，都有；3，使得，使得；，使得使得；，使得，使得且且21.（12 分）已知函数是的一个极值点.2( )(2),1xf xxeaxbx x( )f x（1）若是的唯一极值点，求实数的取值范围；1x ( )f xa（2）讨论的单调性；( )f x（3）若存在正数，使得，求实数的取值范围.0x0()f xaa21.（1）， 是极值点( )(1)2xfxxeaxb1x Q，故， ( )0fx20ab2ba ( )(1)(2 )xfxxea是唯一的极值点1x Q恒成立或恒成立20xea20xea由恒成立得，又 20xea2xae 0xe 0a2由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立. 20xea2xae xe20xea4 分0a（2）由（1）知，当时， ， ； ， .0a 1x ( )0fx1x ( )0fx在递减，在上递增.( )f x(,1)(1,)当时，02ealn( 2 )1a，； ， ； ， .ln( 2 )xa( )0fxln( 2 )1ax( )0fx1x ( )0fx在、上递增，在上递减。( )f x(,ln( 2 )a(1,)(ln( 2 ),1)a当时，在、 上递增，在递减。2ea ( )f x(,1)(ln( 2 ),)a(ln( 2 ),1)a时，在上递增. 8 分2ea ( )f xR（3）当时，满足题意；0a (1)feaa 当时， ，满足题意；02ea(1)feaa 当时，由（2）知需或，来源:学。科。网 Z。X。X。K2ea (0)fa(ln( 2 )faa当时，而，故存在使得，这样(0)fa2a (1)feaa 10x 1()f xa时的值域为从而可知满足题意1(0,xx( )f x( 2, a当时，得或者解得；(ln( 2 )faaln( 2 )1aln( 2 )3a32ea 当时，可得满足题意.2ea (0)2f 3的取值范围或. 12 分a32ea 2a 例例 1已知函数已知函数 f(x)(ax2xa)ex，g(x)bln xx(b0)(1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性；(2)当当 a 时，若对任意时，若对任意 x1(0,2)，存在，存在 x21,2，使，使 f(x1)g(x2)0 成立，成立，12求实数求实数 b 的取值范围的取值范围解：解：(1)由由题题意得意得 f(x)(x1)(axa1)ex当当 a0 时时， ，f(x)(x1)ex，当，当 x (，1)时时， ，f(x)0， ，f(x)在在(，1)上上单调递单调递增；增；当当 x (1，)时时， ，f(x)0， ，f(x)在在(1，)上上单调递单调递减减当当 a0 时时，令，令 f(x)0， ，则则 x1 或或 x1 ， ，1a当当 a0 时时，因，因为为1 1， ，1a所以所以 f(x)在在(，1)和和上上单调递单调递增，在增，在上上单调递单调递(11a， ，)(1， ，11a)减；减；当当 a0 时时，因，因为为1 1， ，1a所以所以 f(x)在在和和(1，)上上单调递单调递减，在减，在上上单调递单调递(， ，11a)(11a， ，1)增增(2)由由(1)知当知当 a 时时， ，f(x)在在(0,1)上上单调递单调递减，在减，在(1,2)上上单调递单调递增，增，12因此因此 f(x)在在(0,2)上的最小上的最小值为值为 f(1)04由由题题意知，意知，对对任意任意 x1 (0,2)，存在，存在 x2 1,2， ，使使 g(x2)f(x1)成立，成立，因因为为f(x1)max0， ，所以所以 bln x2x20，即，即 bx2ln x2令令 h(x)， ，x 1,2， ，xln x则则 h(x)0， ，ln x1 ln x 2因此因此 h(x)minh(2)，所以，所以 b， ，2ln 22ln 2即即实实数数 b 的取的取值值范范围围是是2ln 2， ，)例例 2(2017南昌模拟南昌模拟)已知函数已知函数 f(x)ln xax2a2(aR，a 为常数为常数)(1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性；(2)若存在若存在 x0(0,1，使得对任意的，使得对任意的 a(2,0，不等式，不等式 meaf(x0)0(其中其中 e为自然对数的底数为自然对数的底数)都成立，求实数都成立，求实数 m 的取值范围的取值范围解：解：(1)函数函数 f(x)的定的定义义域域为为(0，)， ，f(x) 2ax，当，当 a0 时时， ，f(x)0， ，1x12ax2x所以函数所以函数 f(x)在区在区间间(0，)上上单调递单调递增；增；当当 a0 时时，由，由 f(x)0 且且 x0， ，解得解得 0x ， ，12a所以函数所以函数 f(x)在区在区间间上上单调递单调递增，在区增，在区间间上上单调递单调递减减(0， ， 12a12a， ，)5(2)由由(1)知，当知，当 a (2,0时时，函数，函数 f(x)在区在区间间(0,1上上单调递单调递增，增，所以所以 x (0,1时时，函数，函数 f(x)的最大的最大值值是是 f(1)22a， ，对对任意的任意的 a (2,0， ，都存在都存在 x0 (0,1，不等式，不等式 meaf(x0)0 都成立，都成立，等价于等价于对对任意的任意的 a (2,0，不等式，不等式 mea22a0 都成立，不等式都成立，不等式mea22a0 可化可化为为 m， ，2a2ea记记 g(a)(a (2,0)， ，2a2ea则则 g(a)0， ，2ea 2a2 eae2a42aea所以所以 g(a)的最大的最大值值是是 g(0)2， ，所以所以实实数数 m 的取的取值值范范围围是是(2，) 例例 3(2017沈阳质监沈阳质监)已知函数已知函数 f(x) x2aln xb(aR)12(1)若曲线若曲线 yf(x)在在 x1 处的切线的方程为处的切线的方程为 3xy30，求实数，求实数 a，b 的值；的值；(2)若若 x1 是函数是函数 f(x)的极值点，求实数的极值点，求实数 a 的值；的值；(3)若若2a0，对任意，对任意 x1，x2(0,2，不等式，不等式|f(x1)f(x2)|m恒成恒成|1x11x2|立，求立，求 m 的最小值的最小值解：解：(1)因因为为 f(x) x2aln xb， ，12所以所以 f(x)x ， ，ax因因为为曲曲线线 yf(x)在在 x1 处处的切的切线线的方程的方程为为 3xy30， ，6所以所以Error!Error!即即Error!Error!解得解得Error!Error!(2)因因为为 x1 是函数是函数 f(x)的极的极值值点，点，所以所以 f(1)1a0，所以，所以 a1当当 a1 时时， ，f(x) x2ln xb，定，定义义域域为为(0，)， ，12f(x)x ， ，1xx21x x1 x1 x当当 0x1 时时， ，f(x)0， ，f(x)单调递单调递减，减，当当 x1 时时， ，f(x)0， ，f(x)单调递单调递增，增，所以所以 a1(3)因因为为2a0,0x2，所以，所以 f(x)x 0， ，ax故函数故函数 f(x)在在(0,2上上单调递单调递增，增，不妨不妨设设 0x1x22， ，则则|f(x1)f(x2)|m可化可化为为 f(x2)f(x1)， ，|1x11x2|mx2mx1设设 h(x)f(x) x2aln xb ， ，mx12mx则则 h(x1)h(x2) 所以所以 h(x)为为(0,2上的减函数，上的减函数，即即 h(x)x 0 在在(0,2上恒成立，上恒成立，axmx2等价于等价于 x3axm0 在在(0,2上恒成立，上恒成立，即即 mx3ax 在在(0,2上恒成立，上恒成立，又又2a0，所以，所以 ax2x，所以，所以 x3axx32x， ，7而函数而函数 yx32x 在在(0,2上是增函数，上是增函数，所以所以 x32x12(当且当且仅仅当当 a2， ，x2 时时等号成立等号成立) 所以所以 m12， ，即即 m 的最小的最小值为值为 128练练 1.设函数设函数 f（x）=xlnax2ax（a0，a1）（1）当）当 a=e 时，求函数时，求函数 f（x）的图象在点（）的图象在点（0，f（0）的切线方程；）的切线方程；（2）若存在）若存在 x1，x21，1，使得，使得|f（x1）f（x2）|e1（e 为自然对数的底为自然对数的底 数），求实数数），求实数 a 的取值范围的取值范围9练练 2.设设 f(x) xln x，g(x)x3x23ax(1)如果存在如果存在 x1，x20,2，使得，使得 g(x1)g(x2)M 成立，求满足上述条件的最成立，求满足上述条件的最大整数大整数 M；(2)如果对于任意的如果对于任意的 s，t，都有，都有 f(s)g(t)成立，求实数成立，求实数 a 的取值范围的取值范围12， ，2解解 (1)存在存在 x1， ，x2 0,2， ，使得使得 g(x1)g(x2)M 成立，成立，等价于等价于g(x1)g(x2)maxM由由 g(x)x3x23， ，得得 g(x)3x22x3x(x23)由由 g(x)0，解得，解得 0x ； ；23由由 g(x)0，解得，解得 x0 或或 x 23又又 x 0,2， ，所以所以 g(x)在区在区间间上上单调递单调递减，在区减，在区间间上上单调递单调递增，增，0， ，2323， ，2又又 g(0)3， ，g(2)1， ，故故 g(x)maxg(2)