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创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼1证明(二)证明(二)1你能证明它们吗一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有 HL)及全等三角形的性质是对应边相等,对应角相等。 2、 等腰三角形的有关知识点。 等边对等角;等角对等边;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。 (三线合一) 3、 等边三角形的有关知识点。 判定:有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形;三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都是 60的三角形是等边三角形;有两个叫是 60的三角形是等边三角形。 性质:等边三角形的三边相等,三个角都是 60。4、反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知 条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法反证法二、重点例题分析 例 1: 如下图,在ABC 中,B=90,M 是 AC 上任意一点(M 与 A 不重合)MDBC,交ABC 的平分线于点 D,求证:MD=MA.例 2 如右图,已知ABC 和BDE 都是等边三角形,求证:AE=CD.例 3: 如图:已知 AB=AE,BCED,BE,AFCD,F 为垂足, 2 创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼21ABCD OODCBA求证: ACAD; CFDF。例 4 如图 1、图 2,AOB,COD 均是等腰直角三角形,AOBCOD90, (1)在图 1 中,AC 与 BD 相等吗?请说明理由(4 分) (2)若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后,到达力 2 的位置,请问 AC 与 BD 还 相等吗?为什么?(8 分)例 5 如图,在ABC 中,AB=AC、D 是 AB 上一点,E 是 AC 延长线上一点,且 CE=BD,连结 DE 交 BC 于 F。 (1)猜想 DF 与 EF 的大小关系;(2)请证明你的猜想。例 6 证明:在一个三角形中至少有两个角是锐角.创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼32直角三角形一、主要知识点1、直角三角形的有关知识。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形; 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半;在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这 两个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互互 逆定理逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理逆定理. 二、典型例题分析例 1 :说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形;(2)两直线平行,同旁内角互补;(3)如果 ab=0,那么 a=0,b=0;(4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等例 2:如图,中,求的长。ABC3590 , 12,22CCDBD AC例 3 :如图所示的一块地,ADC=90,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。CADB4 创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例 4:如图,一架 2.5 米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC 上,这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米,如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米,那么梯足将向外移多少米?CA1B1AB例 5 :如图 2-5 所示在等边三角形 ABC 中,AE=CD,AD,BE 交于 P 点,BQAD 于 Q求证:BP=2PQ3.线段的垂直平分线 4.角平分线一、主要知识点1、 线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼53、 逆命题、互逆命题的概念,及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为 互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 二、重点例题分析 例 1:(1)在ABC 中,ABAC,AB 的垂直平分线交 AB 于 N,交 BC 的延长线于M,A,求NMB 的大小040(2)如果将(1)中A 的度数改为,其余条件不变,再求NMB 的大小 070(3)你发现有什么样的规律性?试证明之. (4)将(1)中的A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例 2:在ABC 中,AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F,垂足为 D,若 AC=6,BC=4,求BCF 的周长。E C F A D B 例 3:如图所示,AC=AD,BC=BD,AB 与 CD 相交于点 E。求证:直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。A C D E B ABCNMABCNMABCNM6 创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例 4:如图所示,在ABC 中,AB=AC,BAC=1200,D、F 分别为 AB、AC 的中点,DE ABFG AC,E、G 在 BC 上,BC=15cm,求 EG 的长度。A D F B E G C 例 5::如图所示,RtABC 中,D 是 AB 上一点,BD=BC,过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E,CD 交 BE 于点 F。求证:BE 垂直平分 CD。C E A D B F 例 6::在ABC 中,点 O 是 AC 边上一动点,过点 O 作直线 MNBC,与 ACB 的角平分线交于点 E,与ACB 的外角平分线交于点 F,求证:OE=OF例 7、如图所示,ABAC,A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D,自 D 作DE AB于 E,DF ACF于,求证:BE=CF。A E B M C F D 21AOFECBMN创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼7相应练习相应练习 1、 如图,在ABC 中,AB=AC=BC,AE= CD,AD、BE 相交于点 P,BQAD 于 Q。求 证:BP=2PQ2、 如图,ABC 中,AB= AC,P、Q、R 分别在 AB、BC、AC 上,且 BP=CQ,BQ=CR。求证:点 Q 在 PR 的垂直平分线上。3、 如图,ABC 中,AD 为BAC 的平分线,AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F,连 接 AF。 求证:B=CAF4、 已知:如图,ABCD,BAC 的角平分线与DCA 的角平分线交于点 M,经过 M 的直 线 EF 与 AB 垂直,垂足为 F,且 EF 与 CD 交于 E 求证:点 M 为 EF 的中点EDFCBAPQEDCBAQRPBCAECMADFB8 创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼单元训练题一、精心一、精心选选一一选选,慧眼,慧眼识识金(每小金(每小题题 3 分,共分,共 30 分)分)1如图 1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形 状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配. A. B. C. D. 和 2下列说法中,正确的是( ). A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的两个三角形全等 3如图 2,ABCD,ABD、BCE 都是等腰三角形,如果 CD=8cm,BE=3cm,那么 AC 长为( ).A4cm B5cm C8cm Dcm344如图 3,在等边中,分别是上的点,且,AD 与 BE 相ABC,D E,BC ACBDCE交于点 P,则的度数是( ).12 A B C D0450550600755如图 4,在中,AB=AC,BD 和 CE 分别是和的平分ABC036AABCACB线,且相交于点 P. 在图 4 中,等腰三角形(不再添加线段和字母)的个数为( ). A9 个 B8 个 C7 个 D6 个6如图 5,表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的123, ,l l l距离相等,则可供选择的地址有( ). A1 处 B2 处 C3 处 D4 处7如图 6,A、C、E 三点在同一条直线上,DAC 和EBC 都是等边三角形,AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N,有如下结论: ACEDCB; CMCN; ACDN. 其中,正确结论的个数是( ).创造适合每一个孩子的教育 地址:罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼9A3 个 B2 个 C 1 个 D0 个 8要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离,先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C,D,使CD=BC,再作出 BF 的垂线 DE,使 A,C,E 在同一条直线上(如图 7) ,可以证明,得 ED=AB. 因此,测ABCEDC得 DE 的长就是 AB 的长,在这里判定的条件ABCEDC是( ).AASA BSAS CSSS DHL 9如图 8,将长方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,点 C 落在点 E 的 位置,BE 交 AD 于点 F. 求证:重叠部分(即)是等腰三角形.BDF 证明:四边形 ABCD 是长方形,ADBC又与关于 BD 对称,BDEBDC . 是等腰三角形.23 BDF 请思考:以上证明过程中,涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项?( ). ;12 13 34 BDCBDE A B C D10.如图 9,已知线段 a,h 作等腰ABC,使 ABAC,且 BCa,BC 边上的高 ADh. 张红的作法是:(1)作线 段 BCa;(2)作线段 BC 的垂直平分线 MN,MN 与 BC 相 交于点 D;(3)在直线 MN 上截取线段 h;(4)连结 AB, AC,则ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中,有错误的一步你认为是( ).A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) 二、二、细细心填一填,一心填一填,一锤锤定音(每小定音(每小题题
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