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马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!方程问题部分例题及作业答案方程问题部分例题及作业答案例例 4 一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。 已知船在静水中的速度为 8 千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为 21。某天恰逢暴雨, 水流速度为原来的 2 倍,这条船往返共用 9 时。问:甲、乙两港相距多少千米?分析:这是流水中的行程问题:顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度。解答本题的关键是要先求出水流速度。解:设甲、乙两港相距 x 千米,原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知,逆水速度与 顺水速度的比为 21,即(8-a)(8a)12,再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时,则有解得 x=20。答:甲、乙两港相距 20 千米。例例 10 某缝纫社有甲、乙、丙、丁 4 个小组,甲组每天能缝制 8 件上衣或 10 条裤子; 乙组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子;丙组每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子;丁组每天 能缝制 6 件上衣或 7 条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子) 。 问:7 天中这 4 个小组最多可缝制多少套衣服?分析:不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的 效率高低,在配套下安排生产。我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所 做衣服套数最多。一般情况,设 A 组每天能缝制 a1 件上衣或 b1 条裤子,它们的比为在安排A 组尽量多做上衣、B 组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产。这马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!的效 率高,故这 7 天全安排这两组生产单一产品。设甲组生产上衣 x 天,生产裤子(7-x)天,乙组生产上衣 y 天,生产裤子(7-y)天, 则 4 个组分别共生产上衣、裤子各为 678x+9y(件)和 11710(7x)12(7-y) (条) 。依题意,得428x9y7770-10x84-12y,令 u428x9y,则显然 x 越大,u 越大。故当 x=7 时,u 取最大值 125,此时 y 的值为 3。答:安排甲、丁组 7 天都生产上衣,丙组 7 天全做裤子,乙组 3 天做上衣,4 天做裤 子,这样生产的套数最多,共计 125 套。说明:本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解。本题求套数最多,实质上是 化为“一元函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由。例例 13 一条路从甲地到乙地是下坡,从乙地到丙地是平路,一人骑车以每小时 12 千 米的速度下坡,而以每小时 9 千米的速度通过平路到达丙地,共用了 55 分钟;回来时以每 小时 8 千米的速度行至乙地,又以每小时 4 千米的速度行到甲地,共用了 1.5 小时.问从甲 地到丙地共有多少千米?解:设从甲地到乙地为 x 千米,从乙地到丙地为 y 千米,依题意可得下列方程组:去分母,(1)两端同乘以 36 得:3x+4y=33.(2)两端同乘以 8 得:马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!y+2x=12.原方程组与下面方程组同解.由(4)得 y=12-2x,代入(3)消去 y 得:3x+4(12-2x)=333x+48-8x335x=15x=3.将 x=3 代入(4)得:y12-23y6.原方程组的解为x+y=9.答:从甲地到丙地共 9 千米.例题例题 14 小明、小勇与两位小同学小英、小娟去给军属运蜂窝煤,每人运的块数不同, 但每人每次运的块数与他自己运的次数正好相等,小明比小勇多运 15 块,小英比小娟也多 运 15 块,问共搬了多少块蜂窝煤? 解解:设小明每次搬 x 块,则 x 次搬 x2块.小勇每次搬 y 块,则 y 次搬 y2块.小英每次搬 u 块,则 u 次搬 u2块,小娟每次搬 v 块,则 v 次搬 v2块.x2-y2=15,u2-v2=15. (xy) (x-y)15, (u+v) (u-v)=15.但 15 只有两种表示成两个自然数乘积的形式:15=115=35,而四人搬的块数各不相 同,所以在这两种情形解出后都有:x2+y2+u2+v2=82+72+42+12130.答:共搬煤 130 块. 例题例题 15三角形 ABC 被分割成 6 个大小不等的三角形, 如图,求这三角形的总面积?解:设其他两个小三角形的面积 分别为 X 和 Y,则马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!解得 X=120 Y=140 总面积为 160+60+70+80+120+140=630 【作业作业】HW1 一辆汽车在公路上匀速行驶,司机看见里程碑上的数字是一个两位数再过一小时,里程碑上是三位数,又恰好是第一个两位数中间加了个零(用所以(10BA)-(10A+B)(100A+B)-(10BA)即 18B=108A,B=6A.由于 A、B 都是一位非零数字,所以 A1,B6.答:第一个里程碑上数字是 16,第二个里程碑上数字是 61,第三个里程碑上数字是 106.HW2 甲、乙两队学生参加郊区夏令营,但只有一辆车接送,坐不下.甲队学生坐车从 学校出发的同时,乙队学生开始步行.车到途中某处让甲队学生下车步行,车立即返回接乙 班学生并直开到夏令营,两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为 4 千米/小时,汽车载 学生时速度为 40 千米/小时,空车时速度为 50 千米/小时,问甲班学生应步行全程的几分 之几?解:如图:设全程为 x 千米,甲、乙两队分别步行 a、b 千米.要使两队学生同时到达夏令营,只 有他们两队步行的路程相等才行,故 a=b.等量关系是:乙队走 a 千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队 的时间,即:马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!去分母,两端同乘 200,得5x-5a+4x-8a=50a9x63aHW3 整片牧场上的草长得一样密,一样地快。已知 70 头牛在 24 天里把草吃完,而 30 头牛就得 60 天。如果要在 96 天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛?分析:本题中牧场原有草量是多少?每天能生长草量多少?每头牛一天吃草量多少? 若这三个量用参数 a,b,c 表示,再设所求牛的头数为 x,则可列出三个方程。若能消去 a,b,c,便可解决问题。解:设整片牧场的原有草量为 a,每天生长的草量为 b,每头牛一天吃草量为 c,x 头 牛在 96 天内能把牧场上的草吃完,则有-,得36b=120C。 -,得96xc=1800c36b。 将代入,得96xc1800c+120c。解得 x=20。答:有 20 头牛。HW4 某汽车制造厂工人共 86 人,已知每个工人平均可加工甲种零件 15 个,或乙种 零件 12 个,或丙种零件 9 个.问应安排加工甲种零件、乙种零件、丙种零件各多少人才能 使加工后的 3 个甲种零件、2 个乙种零件和 1 个丙种零件恰好配套? 解解:设安排加工甲、乙、丙三种零件的人数分别为 x 人,y 人,z 人,依题意列方程:答:安排 36 人生产甲种零件,30 人生产乙种零件,20 人生产丙种零件.HW5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加 起来恰好是某个自然数的平方,求原来这个两位数与新得到的两位数的和.马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!由题设条件应有是某自然数的平方,由表达式 11(ab)可知这个完全平方数既有一个约数 11,就一 定还有一个约数 11,因此 11 是 a+b 的约数,而 a、b 又都只能取自 1、2、3、8、9.故 a+b11.答:原数与新数的和为 121.HW6 如图,沿着边长为 90 米的正方形,按逆时针方向,甲从 A 出发,每分钟走 65 米,乙从 B 出发,每分钟走 72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?分析:这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所 需要的时间,再回到“环行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正 方形哪一条边上。解:设追上甲时乙走了 x 分。依题意,甲在乙前方390=270(米) ,故有72x65x+270。由于正方形边长为 90 米,共四条边,故由可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA 边上。答:当乙第一次追上甲时在正方形的 DA 边上。HW7 甲、乙、丙、丁四名学生共有 45 元钱.如果甲的钱增加 2 元,乙减少 2 元,丙 增至 2 倍,丁减少为一半,则这四人的钱数相同.问四人各有多少钱?4.解:设甲、乙、丙、丁原有钱数分别为 x 元、y 元、z 元、t 元,则解之,甲原有 8 元,乙原有 12 元,丙原有 5 元,丁原有 20 元.【随堂测试随堂测试】马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!试题试题 1 小明每天定时从家到学校,若小明每分钟走 30 米,则迟到 3 分钟;若小明每 分钟走 40 米,则早到 5 分钟.求小明家到学校的距离.解:设小明家到学校的距离为 S 米,则去分母,方程两端同乘以 120:4S-360=3S600S=960. 答:小明家离学校 960 米.试题试题 2 甲、乙共有图书 63 册,乙、丙共有图书 77 册三人中图书最多的人的书数 是图书最少的人的书数的 2 倍问:甲、乙、丙三人各有图书多少册? 4提示:这道题要先推理后列方程关键是分析出甲、乙、丙三人中谁最多、谁最少依 题意:甲+乙=63,乙+丙=77,两式相减得丙-甲=14题目中还给出图书最多的人的书数是 图书最少的人的书数的 2 倍,也即它们的于甲, 知丙不是最少若丙最多,甲最少设丙有图书 x 册,则由条件有:求出乙为 49 本,这样显然丙不是最多,也不是最少因此,乙最大,甲最小解:设甲有图书 x 册,则乙有图书 2x 册x+2x63x=212x=4277-42=35答:甲有图书 21 册,乙有图书 42 册,丙有图书 35 册试题试题 3有一篮子鸡蛋分给若干人,第一人拿走 1 个鸡蛋和余下的,第二人拿走 2 个和余下的,第三个人拿走 3 个鸡蛋和余下的,最后恰好分完,并且每人分到的鸡蛋数相同。问:共有多少鸡蛋?分给几个人?马到成功奥数网 www.8844aoshu.cn 尽最大努力去做得更好!答疑邮箱: mdcg8844aoshu.cn攀登数学高峰,助你马到成功!所以分给了 8 人。试题试题 4一个六位数,如果乘 3,则得到一个新的六位数,求原来的六位数?解:设为 X,则 (a105+x)3=10x+a x=42857a因为 X 是一个五位数,a 只能取 1 或 2 当 a=1 时,X=42857 当 a=2 时,X=85741 所以这六位数是 142857 或 285714 试题试题 5A 城有化肥 200 吨,B 城有化肥 300
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