2012 知识要点知识要点一一 概念：概念：随机事件随机事件：用等表示,A B C互不相容互不相容： AB 互逆：互逆： 且 ，此时，AB AB BA互逆 互不相容 ，反之不行相互独立：相互独立： 或()( )P A BP A()( ) ( )P ABP A P B运算律： (1) 交换律 ：,ABBAABBA(2) 结合律 ：()(),()()ABCABCAB CA BC(3) 分配律 ：(),()()()A BCABACABCAB AC(4 ) De Morgen 律（对偶律）BABABAAB推广：11nnii iiAAUI11nnii iiAAIU随机事件的概率：随机事件的概率：( )P A有界性 0( )1P A若 则AB( )( )P AP B条件概率 ()()( )P ABP A BP B随机变量随机变量： 用大写表示 . ,X Y Z若与独立，则XY(, )( )( )XYF X YFx Fy或 ( , )( )( )XYf x yfx fy( , )( )( )XYp x ypx py不相关： 或 cov(, )0X Y (, )0R X Y 独立不相关 反之不成立 当与服从正态分布时 ，则相互独立 不相关XY 二二 两种概率模型两种概率模型古典概型 ： 所包含的基本事件的个数 ；总的基本事件的个数( )MP AN:MA:N伯努利概型 ： 次独立试验序列中事件恰好恰好发生次的概率 nAm( )mmn m nnP mC p q次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率nA1m2m2112()( )mn m mP mmmP m次独立试验序列中事件至少至少发生次的概率nAr10()( )1( )nrnn m rmP mrP mP m 特别的 ，至少发生一次发生一次的概率 (1)1 (1)nP mp 三三 概率的计算公式：概率的计算公式：加法公式：加法公式：()( )( )()P ABP AP BP AB若互不相容 ,则BA,)()()(BPAPBAP推广：)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP若，互不相容，则BA,C()( )( )( )P ABCP AP BP C乘法公式乘法公式：或)()()(ABPAPABP( ) ()P B P A B若相互独立 ，,A B()( ) ( )P ABP A P B推广：)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPLLLLLL若它们相互独立，则1212()() ()()nnP A AAP A P AP AL LL L全概率公式全概率公式：若 为随机事件，互不相容的完备事件组，且 AnBBBLL21,0)(iBP则 )()()()()()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAPLL注： 常用作为互不相容的完备事件组 ,B B有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的 概率问题属于全概问题. 用全概率公式解题的程序： （1）判断所求解的问题 是否为全概率问题（2）若是全概率类型，正确的假设事件及 ，要求是互斥的完备事件组AiB iB（3）计算出(),()iiP BP A B（4）代入公式计算结果 四四 一维随机变量：一维随机变量：分布函数分布函数：)()(xXPxF性质性质：（1） 1)(0xF（2）若 ，则21xx )()(21xFxF（3）右连续（4） 即 1)(lim xF x1)(F即 （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）0)(lim xF x0)(F利用分布函数计算概率利用分布函数计算概率：()( )( )P aXbF bF a一维离散随机变量：一维离散随机变量：概率函数概率函数： （分布律）( )()1,2iip xP XxiL性质性质：( )0ip x（此性质常用来确定概率函数中的常数）( )1i ip x已知概率函数求分布函数已知概率函数求分布函数 ( )()( )iiii xxxxF xP Xxp x一维连续随机变量一维连续随机变量： 概率密度概率密度 ( )f x性质：性质：（1） 非负性( )0f x （2）归一性 （常用此性质来确定概率密度中的常数）( )1f x dx分布函数和概率密度的关系：分布函数和概率密度的关系： ( )( )f xF x( )( )xF xf x dx （注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用概率密度求概率利用概率密度求概率 ()( )baP aXbf x dx五五 一维随机变量函数的分布：一维随机变量函数的分布：离散情形 ： 列表 、整理、合并连续情形： 分布函数法. 先求的分布函数 ，再求导()Yg XY六六 二维随机变量：二维随机变量：联合分布函数联合分布函数 ：(, )(,)F xyP XxYy性质性质：（1） （2） (,)0F (, )0Fx（3） （4） (, )0Fy(,)1F （此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数边缘分布函数： ( )( ,)XFxF x( )( ,)YFyF y二维离散随机变量：二维离散随机变量：联合概率函数联合概率函数 列表(,)(,)ijijp xyP Xx Yy边缘概率函数边缘概率函数： ( )(,)Xiij jpxp xy()(,)Yiij ipyp xy二维连续随机变量二维连续随机变量： 联合概率密度 ( , )f x y性质性质 （1） ( , )0f x y （2）（常用此性质来确定概率密度中的常数）( , )1f x y dxdy 联合分布函数与联合概率密度的关系联合分布函数与联合概率密度的关系 ( , )( , )( , )( , )xyf x yF x yx yF x yf x y dxdy （注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率利用联合概率密度求概率( , )( , )RP x yRf x y dxdy已知联合概率密度求边缘概率密度已知联合概率密度求边缘概率密度( )( , )Xfxf x y dy( )( , )Yfyf x y dx（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）七七 随机变量的数字特征：随机变量的数字特征：若为离散随机变量： X1()( )nii iE Xx p x若为连续随机变量： X()( )E Xxf x dx二维情形 若为二维连续随机变量，则(, ) ( , )X Yf x y()( )( , )XE Xxfx dxxf x y dxdy ( )( , )E Yyf x y dxdy 若为二维离散随机变量，则(, ) (,)ijX Yp xy()( )(,)iXiiij iijE Xx pxx p xy( )()(,)jYjjij jjiE Yy pyy p xy随机变量的函数的数学期望：随机变量的函数的数学期望：若为离散随机变量：X()( ) ( )ii iE g Xg x p x若为连续随机变量 X()( ) ( )E g Xg x f x dx方差：方差：定义 2()()D XEXE X方差的计算公式方差的计算公式：22()()()D XE XEX注意这个公式的转化：22()()()E XD XEX关于期望的定理：关于期望的定理： 关于方差的定理关于方差的定理（1） （1） ( )E CC( )0D C （2） （2） ()()E CXCE X2()()D CXC D X（3） 相互独立： ()()( )E XYE XE Y()()( )D XYD XD Y()()( )E XYE XE Y()()( )D XYD XD Y（注意：反之不成立）()()( )EXYE XE Y相互独立 （注意：反之不成立）()() ( )E XYE X E Y八八 要熟记的常用分布及其数字特征：要熟记的常用分布及其数字特征：分布分布 0 1(1, )Bp1( )0,1xxp xp qx()()E XpD Xpq二项分布二项分布 ( , )B n p( )0,1xxn x inp xC p qxnL()()E XnpD Xnpq泊松分布泊松分布 ( )p( )0,1!x p xexxL()()E XD X均匀分布均匀分布： ( , )U a b1 ( ) 0axbf xba 其他()0 1xaaxbba F Xxa xb 2()()()212abbaE XD X指数分布指数分布： ( )e0( )00xexf xx10( )00xexF xx 211()()E XD X正态分布正态分布： 2(,)XN 22()21( )2x f xe 22()21( )2xxF xedx 2()()E XD X特别地特别地 (0,1)N221( )2x xe（）221( )2xxxedx)(1)(xx()0()1E XD X2(,)XN 12 12()()xxXP xXxP 21()()xx 九九 正态随机变量线性函数的分布正态随机变量线性函数的分布 十十 统计部分：统计部分：统计量 无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验