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剖析平面向量中的常见错误平面向量是高中数学教材中的新增内容,运用向量知识解题常可收到化繁 为简、化难为易的神奇功效,随着新教材的逐步实施,它已成为高考数学的新 宠。但学生在初学这部分内容时,往往会出现这样或那样的错误,现列举几种 常见错误,以期起到防患于未然的作用。 一、乱用平移公式致误例 1、已知、)2 , 4(B,则向量 AB 按向量平移后得到的向量是( )2 , 1 (A)3 , 1()A、 B、 C、 D、)3 , 2()5 , 0()5 , 3()0 , 3(错解:由、)2 , 4(B得)0 , 3()2 , 1 ()2 , 4(OAOBAB,将及)2 , 1 (A0, 3yx代入平移公式 kyyhxx得,故选 D。3, 1kh 32 yx剖析: 平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系,它不适用于向 量平移的规律,上述错误是典型的乱用公式。正解 1:将、)2 , 4(B按向量平移后分别变为、,故)2 , 1 (A)3 , 1()5 , 0(A)5 , 3(B,故应选 C。)0 , 3(BA正解 2:因平移不影响向量大小的变化,故应选 C。 二、分不清平移前后致误例 2、把一个函数的图象按)2 ,4(a平移后得到的图象的函数解析式为,那么原来函数的解析式为( )2)4sin(xyA、 B、 C、 D、xysinxycos4sinxy4cosxy错解:由向量平移公式得,即代入得 24 yyxx24 yyxx 2)4sin(xy,故选 C。4sinxy剖析:错选 C 项是分不清平移前后所致,是图象平移后得到的2)4sin(xy函数解析式,应为。2)4sin(xy正解:由平移公式得,代入得,故选 B。 24 yyxx 2)4sin(xyxycos三、忽略共线向量致误例 3、已知同一平面上的向量、 两两所成的角相等,并且,abc1|a,求向量的长度。2|b3|ccba错解:易知、 皆为非零向量,设、 所成的角均为,则abcabc,即,所以,同理,o3603 o1201120cos|obaba3cb,由=3,故23acaccbbacbacba222|2222。3|cba剖析:本例误以为、 皆为非共线向量,而当向量、 共线且同向abcabc时,所成的角也相等均为,符合题意。o0正解:(1)当向量、 共线且同向时,所成的角均为,所以abco0|cba;6|cba(2)当向量、 不共线时,同错解.abc综上所述, 向量的长度为 6 或。cba3四、忽视两向量夹角的意义致误例 4、正的边长为 1,且,求的值。ABCaBC bCA cAB |cba错解:由于正的边长为 1,所以,且,ABCo60CBA1|cba所以,同理可得,21cos|Cbaba21cb21ac由=6,故。accbbacbacba222|22226|cba剖析:本题误以为与的夹角为。事实上,两向量的夹角应为平面上同abBCA一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角,范围是,因此,与的180,0ooab夹角应为。BCAo180正解:作,与的夹角即与的夹角为,所BCCD abBCCAoo120180BCA以,同理可得,21120cos|obaba21cb21ac由=0,故。accbbacbacba222|22220|cba五、忽视充要条件致误例 5、已知,设与的夹角为,要使为锐角,求的取)3 , 1 (a), 2(bab值范围。错解:因为为锐角,所以,由cos|baba知,只须0ba,即0cos 0321,即。32剖析:本题误以为两非零向量与的夹角为锐角的充要条件是0ba,事实上,ab两向量的夹角,当0时,有01cos,对于非零向量与仍有, 0ab,因此,是两非零向量与的夹角为锐角的必要不充分的条件。0ba0baab即有如下结论:两非零向量与的夹角为锐角的充要条件是且不平行ab0baa于。b正解:由为锐角,得且,由,而、恒大0cos 0cos|baba| a|b于 0,所以,0321,即;若平行则即0ba32ab0321,但若平行则0或,与为锐角相矛盾,所以;6ab6综上,且。326六、忽视向量的特性致误例 6、已知、都是非零向量,且向量与垂直,向量与abba3ba57 ba4垂直,求向量与的夹角。ba27 ab错解:由题意得,即 ,两式相减 0)27)(4(0)57()3(babababa083070151672222bbaabbaa得,即,所以,(不合题意舍去)或023462bba0)2(bab0b,由知与同向,故向量与的夹角为。02ba02baababo0剖析:本题误用实数的性质,即实数、若满足则必有或,ab0ab0a0b但对于向量、若满足则不一定有或,因为由ab0ba0a0bcos|baba知与有关,当时,恒成立,此时、均可o900baab以不为。0正解:由前知代入得,所以,bab 2201516722bbaabaa 22,故。baba22221|21|cos22 aababa联系地址:四川省南部中学 袁启永 637300 联系电话:(小灵通) (0817)5555761 (宅电) (0817)8030309 E-mail:yuanqiyongtom.com scnbyqytom.comhttp:/www.k12.com.cn/teacher/union/personal/per_zj.php3?uid=yuanqiyong
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