立体几何专题：空间角立体几何专题：空间角 一：线与线的角一：线与线的角 1.定义：定义： 直线直线 a、b 是异面直线，经过空间一交是异面直线，经过空间一交 o，分别，分别 a/a，b/b，相交直线，相交直线 ab所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做（或直角）叫做 。2.范围：范围： 3.方法：方法： 作作证证求求2, 0例例 1在正三棱锥在正三棱锥 SABC 中，中，E 为为 SA 的中点，的中点，F 为为ABC 的中心，的中心，SA=BC=2，则异面直线，则异面直线 EF与与 AB 所成的角是所成的角是( )(A)30(B) 45(C) 60(D) 90例例 2、如图，三棱锥、如图，三棱锥 PABC 中，中， PC平面平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是是 PB 上一点，且上一点，且 CD平面平面 PAB (I) 求证：求证：AB平面平面 PCB； (II) 求异面直线求异面直线 AP 与与 BC 所成角的大小；所成角的大小；例例 3、 已知四棱锥已知四棱锥的底面为直角梯形，的底面为直角梯形，底面底面，PABCD/ABDCPADAB,90oABCD且且，是是的中点的中点头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1 2PAADDC1AB MPB（）证明：面）证明：面面面；PAD PCD （）求）求与与所成角的余弦值；所成角的余弦值；ACPB二：直线和平面所成的角二：直线和平面所成的角 1.定义：定义： （斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角垂线与平面所成的角）/ll或 2.直线与平面所成角范围是直线与平面所成角范围是 。 3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。 （最小值定理）（最小值定理） 4. 求法：求法： 几何法：几何法： 法一：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角，再解三角形求出此角。法一：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角，再解三角形求出此角。法二：法二：（AB 为对应面的斜线，为对应面的斜线，A 为斜足，为斜足，h 为为 B 到面的距离，可用等体积法求到面的距离，可用等体积法求 h）ABhsin例例 4在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形中，四边形 A1ABB1是菱形，四边是菱形，四边形形 BCC1B1是矩形，是矩形，CBAB，且，且AB=4，BC=3，ABB1=60求求 AC1与平面与平面 BCC1所成角的正弦所成角的正弦三：平面与平面所成的角三：平面与平面所成的角 1.定义：定义： 二面角二面角:由一条直线出发的由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角所组成的图形叫做二面角 平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二 面角的平面角，二面角的取值范围是面角的平面角，二面角的取值范围是 . 注注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB 为所求二面角为所求二面角”，而应写，而应写 成成”AOB 为二面角为二面角的平面角的平面角”。l 2.求法：几何法求法：几何法 （1）几何法：几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作出二面角的平面角，再求解，常见的有 作作 法法图图 形形定义法定义法在棱在棱 CD 上找一点上找一点 O，在两个面，在两个面 内分别作棱的垂线内分别作棱的垂线 AO,BOAOB 为二面角为二面角的平面角的平面角CD垂面法垂面法过棱上一点过棱上一点 O 作棱的垂直平面作棱的垂直平面 与两个半平面的交线分别为与两个半平面的交线分别为 AOBOAOB 为为的平面的平面CD 角角例例 5、如图，已知棱柱、如图，已知棱柱的底面是菱形，且的底面是菱形，且面面，1111DCBAABCD 1AAABCDo60DAB，为棱为棱的中点，的中点，为线段为线段的中点，的中点，1AAAD F1AAM1BD（1）求证：）求证：面面；MF11BBDD（2 2）求面）求面与面与面所成二面角的大小所成二面角的大小1BFDABCDABCDA1B1C1D1FMOEQONPEDCB AAMA例例 6 6如图，直二面角如图，直二面角 D DABABE E 中，四边形中，四边形 ABCDABCD 是边长为是边长为 2 2 的正方形，的正方形，AE=EBAE=EB，F F 为为 CECE 上的点，上的点， 且且 BFBF平面平面 ACEACE。 （1 1）求证：）求证：AEAE平面平面 BCEBCE；（；（2 2）求二面角）求二面角 B BACACE E 的正弦值；的正弦值；例例 7如图所示的几何体如图所示的几何体ABCDE中中,DA平面平面EAB， DACB/, ,CBABDAEA2， ABEA，M是是EC的中点的中点. . ()()求证求证: :EBDM ; ; ()()求二面角求二面角ABDM的余弦值的余弦值. .例例 8 已知四棱锥已知四棱锥的底面为直角梯形，的底面为直角梯形，底面底面，PABCD/ABDCPADAB,90oABCD且且，是是的中点的中点头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1 2PAADDC1AB MPB（）证明：面）证明：面面面；PAD PCD （）求面）求面与面与面所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 AMCBMC例例 9.如图，三棱锥如图，三棱锥 PABC 中，中， PC平面平面 ABC，PC=AC=2， AB=BC，D 是是 PB 上一点，且上一点，且 CD平面平面 PAB(I) 求证：求证：AB平面平面 PCB；(II) 求二面角求二面角 C-PA-B 的大小的大小ABCDPEF