4 6 数学通讯 2 O 1 3年第 4期( 上半月) 专论荟萃 线 Z 恒 过定 点 ( 2 p， O ) 结论 7 已知抛物线 C： Y 一 2 p x( p O ) ， 过 定点( 2 p ， O )的动直线 交抛物线于A， B两点( A， B点不是顶点) ， 则 以线段 AB为直径 的圆恒过原 点 o 对于结论 2 、 结论 3 、 结论 5 、 结论 6 、 结论 7 的证 明， 在此不赘述 ， 有兴趣的读者可模仿结论 1 、 结论 4的证 明尝试 之 ( 收稿 日期 ： 2 0 1 2 1 0 3 0 ) 对 2 0 1 2 年北京高考理科数学第 1 9 题的探究 施月 4 良 ( 浙江省德 清县第三 中学 ，3 1 3 2 0 1 ) 一 、高考 试题及 解答 呈现 已 知 曲线 C： ( 5 一m) x 。 + ( m一2 ) Y 。 一 8 ( m R) ( 1 ) 若 曲线 C是焦 点在 z轴 上 的椭 圆 ， 求 m 的 取值范围； ( 2 ) 设 m=4 ， 曲线 C与Y轴的交点为A， B( 点 A位于点B的上方) ， 直线 k x+4与曲线 C交 于 不 同的两点 M ， N， 直线 Y一 1 与直线 B M 交 于点 G， 求证 ： A， G， N 三点共线 试题解答 ( 1 )答案为 b O ) 相交于 M( x ， Y 。 ) ， N( x ， y 2 ) 两点， 椭圆与 y轴 的交 点为 A( O ， 6 ) ， B( 0 ， -b ) ( 点 A位 于 点B 的 上 方) 当m土b 时， 联立椭圆与直线方程得( n k + b 。 ) z + 2 k ma z+ 口 。 m 一 口 b 。一 0 ， 故 2k m口0 口 m2一 口 6 0 zl十 z2一 一 Xl X2 = = = 又直线 B M 的方程为 ： y+b= z， 直线 1 AN 的方程为 Yb= 丝二 z， 设直线 B M 与AN 2 相 交 于 G点 ， 则 垒一 ! 鱼 垒 YG b Xl Y 2一 b 一( k xl + m + b ) x2 。(。 。 。k。 。x。 。 。z 。 。 “。-。 。 。 。m。 。 。 。-。 。 。 。 b ) x l 丛 k+ ( m+ ( 一 k z ) n + 6 2 。 、 n + 6 2 k b 2+ ( m一 6 ) 丑 口 0+ 一b+ m b - m 即得 y a一 当 m 一土 b时 ， 显 然也 有 Y a一 通过上述探究 ， 笔者得到 了如下定理 1 定理 l 设直线 z ： y + 与椭 圆x z T yZ 一1 1 ( n b O )相 交 于 M ( x 1 ， 3 ， 1 ) ， N( x 2 ， Y 2 ) 两 点 ， 椭 圆与 Y轴 的交点 为 A( O ， 6 ) ， B( O ， 一6 )( 点 A 位于点 B的上方) ， 直线 B M 与AN相交于G点 ， 则 G点在直线 Y bZ 上 注 此定理 1即为上述高考题的推广 考虑到椭圆与双曲线之间具有相似 的性质 ， 笔 者在得 到 了上述 定理 1 之 后 ， 马上类 比猜 想得 到 如 下定理 2 定理 2 设直线 z ： Y k x+m与双曲线 一 一1 ( 口 0 ， 6 0 ) 相 交 于 M ( l ， y 1 ) ， N( x 2 ， y 2 ) 两 点 ， 双 曲 线 虚 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 A( O ， 6 ) ， B( O ， 一6 )( 点 A位于点 B 的上方 ) ， 直线 B M 与 AN 相 交 于 G 点 ， 则 G 点在直 线 y 一 一0 上 注 由于此定理的证 明与定理 1类似 ， 笔者 在 此不 再叙 述定 理 2的证 明 ， 留给 有兴趣 的读者 三 、 试 题背 景探 究 上面得到的定理实际上是关于极 点与极线的 性质 ， 即 P( O ， )称为有心圆锥 曲线的一个极点， 直线 z ： Y一 称为与 P点对应的有心圆锥 曲线 的 极 线 而且 ， 从定 理 的证 明 过程 可 以得 到 如下 重 要 的结论 ： 已知点A( O ， 6 ) ， B ( O ， 一6 ) ， 且点G满足竽 为 AG 定值 ， 则点 G的轨迹为一直线 此结论 的特殊化在人教版 A版选修 2 1第 4 2页练 习 4可 以找 到 原 型 ， 这 也 是定 理 的又 一 特 殊 背 景 四 、 定理 的逆 向探 究 在有 关 圆锥 曲 线 的 一 些命 题 中 ， 考 虑 它 的逆 命题往往可以得到一些新 的命题 ， 受这样的想法 启发 ， 笔者通过思考又得到了如下性质 定理 3 已知椭圆 x z T y Z ： = ： 1 ( 口 6 O ) 与 Y轴 的交 点 为 A( O ， 6 ) ， B( O ， 一 6 )( 点 A 位 于点 B 的上方) ， 点G满足 为定值K， 直线 B G与AG分 A G 别与椭圆相交于 M， N两点， 则直线 MN 过定点 事实上 ， 设直线 MN： y h +m与椭 圆 + 菩一l ( a b o ) 相 交于M( x ， Y ) ， N ( x 2 ， Y 2 ) 两 点 ， 联 立 椭 圆 与 直 线 方 程 得 ( 口 。 k + b 。 ) z + 2 k ma 。 z + a 2 m。一 口 。 b 。 一 0 ， 故 1+ X 2 一 一 ：一 挪 么 一 z - z一 刃 p 么 K 一 生一 一 k k A 一 垒 一 ( 如1 +m+6 ) 2 zl Y 2 一 b ( 2 + m 一 6 ) z1 + ( 仇+ 6 ) ( 一 一 z ) k (aZm z-_一a Z b )+ (m- 6 ) z a 2 k 0上 b 2 b + m 一b - m 即得 m一而K- 1 6 ，也即直线 MN 过定点Q( O ， 4 8 数学通讯 2 O 1 3年第 4期( 上半月) 专论 荟萃 考虑到椭 圆与双 曲线之 间具有相似 的性质 ， 于是笔 者在得 到 了上述 定理 1 之后 ， 马上通 过类 比 猜想得到如下定理 4 一2 2 定理 4 已知双曲线 一 一 l ( 口 0 ， b O 0 )虚轴 的两个端 点 分 别 为 A( o ， 6 ) ， B( 0 ， 一 6 ) ( 点 L A位于点B的上方) ， 点 G满足 为定值 K， 直线 AG B G与 AG分 别与 双曲线 相交 于M ， N两 点 ， 则 直线 MN 过定 点 注 由于定理 4 的证明与定理 3 相似 ， 笔者在 此不再叙述它的证明， 留给有兴趣 的读者 五 、 结 束语 高考试题是许多专家、 学者、 优秀教师集体智 慧 的结 晶 ， 有很 好的研 究价 值 高 考试 题 源 于课 本 又高于课本 ， 许多高考试题的背景都 可以在书本 上找到它的原型 所 以， 我们要善于钻研课 本， 以 课 本 为本 ， 最 大 限度 地 发 挥课 本 在 高考 复 习 中 的 重要作用 ， 以不变应万变 在平常的教学研究和学 习活动中， 对高考试题 的研究应成为我们一线教 师 的一种 习惯 ， 这样 做有 助 于提 高 我 们 的教 科 研 意识 只有在培养 自身的能力上不断地下苦功 ， 同 时在平常的教学实践中不断地向学生渗 透 自己研 究数 学的思 维 过程 和 一 些 想 法 ， 把 数 学 的 学 术形 态转化为学生易于接受 的教育形态 ， 才能使学生 的数学思维能力得到提 高， 这是提高我们教学有 效 性 的一 个重 要途径 正所 谓 要 给学 生一 碗 水 ， 教 师必须有 一桶 水 ( 收稿 日期 ： 2 0 1 2 0 9 2 2 ) L I-接 r弗 Z 贝 ) z一 3 c o s 0 + 9 s i n 0 3 v T O s i n ( 0 + ) ， 其 中 t a n 一 1， ( 0 ， 詈 ) 由 8 。 得 s i n c 。 s ， 所 以 一 1 s i n 0 塑三 ， 所以0 a 或7 c 一 2 兀 ， 33 其 中 a ( 。 ， 号 ) 且 s in a - 寿 ， 从 而 可 得 0 + a + 或 丁 c a + + 2 7 r + 显 然 兀 一 a + 萼 ， 所 以 ， 当 0 + - 萼 时 ， z取 得最小 值 z i 一一 3 由 t a n q 1 ， ( 。 ， 号 ) 可 得s in 一 ， c o s 5 D一 ， 且 ( o， 由 s i n a= = = _ J - -4， ( 0 ， 要) 可得 C O S 0 t 一 3 4 3 3 4 3 ， 且 a ( 0 ， O 所以a + ( 0 ， 詈) ， 且 s i n ( a + )一 s i n a c o s q + c o s a s i n o 一 3 ( 一4 ) +2 =_ ， 3 3 0 所 以 ， 当 0一 a时 ， z取得最 大值 z 一 3、 ，而 3 ( 一4 ) 30 +2 二_ 一 而+ ( 一4 ) 综上所述： z一 ( z+ ) +3 的取值范 围 一3 而， 互 二 + ( 、 ， 一4 ) 参考 文献 ： 1 李建潮 一道希望杯培训题 的质 疑与探究 数学通讯( 上半月) ， 2 o 1 2 ( 1 1 、 1 2 ) 【 收稿 日期 ： 2 0 1 2 1 1 2 6 )