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1球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我 们把这段弧长叫做两点的球面距离,常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过 A、B 两点大圆的劣弧长由球心角 AOB 的大小确定,一般地是先求弦长 AB,然后在等腰AOB 中求AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定,我们引入有向角度概念与经度、纬度记法: 规定东经为正,西经为负;北纬为正,南纬为负(如西经 30 为经度 =-30,南纬 40 为 纬度 =-40 ) ,这样简单自然,记球面上一点 A 的球面坐标为 A(经度 ,纬度 ) ,两标定点,清晰直观。 设地球半径为 R,球面上两点 A、B 的球面坐标为 A(1,1) ,B(2,2) ,1、2-,1、2-,如图,设过地球 O 的球面上 A 处的经线与赤2 2道交于 C 点,过 B 的经线与赤道交于 D 点。设地球半径为 R;AOC=1,BOD=2,DOC=1-2。 另外,以 O 为原点,以 OC 所在直线为 X 轴,地轴所在直线 ON 为 Z 轴建立坐标系 O- XYZ(如图) 。则 A(Rcos1,0,Rsin1),B(Rcos2cos(1-2),Rcos2sin(1-2), Rsin2) cosAOB =cosOAOA,OBOB=cos1cos2cos(1-2)+sin1sin2 AOB=arcoscos1cos2cos(1-2)+sin1sin2 其中反余弦的单位为弧度。 于是由弧长公式,得地球上两点地球上两点球面距离公式球面距离公式:=Rarcoscos=Rarcoscos1 1coscos2 2coscos(1 1-2 2)+sin+sin1 1sinsin2 2 (I I) AB 上述公式推导中只需写出 A,B 两点的球面坐标,运用向量的夹角公式、弧长公式就能 得出结论,简单明了,易于理解,公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决 立几问题的不凡表现。 由公式(I)知,求地球上两点的球面距离,不需求弦 AB,只需两点的经纬度即可。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地,A、B 两点的经度或纬度相同时,有:1、1=2=,则球面距离公式为: =Rarcoscos2cos(1-2)+sin2 (II)BA)2、1-2=,则球面距离公式为: =Rarcos(cos1cos2+sin1sin2)=Rarcoscos(1-2) (III)BA)例 1、 设地球半径为 R,地球上 A、B 两点都在北纬 45 的纬线上,A、B 两点的球面距离是2R,A 在东经 20,求 B 点的位置。3分析:1=20,1=2=45,由公式(II)得:R= Rarcoscos245cos(20-2)+sin2453cos= cos(20-2)+3 21 21cos(20-2)=0, 20-2=90 即:2=110 或 2=-70 所以 B 点在北纬 45,东经 110 或西经 70 例 2、 (2002 年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题)北京时间 2002 年 9 月 27 日 14 点,国航 CA981 航班从首都国际机场准时起飞,当地时间 9 月 27 日 15 点 30 分,该航班正 点平稳降落在纽约肯尼迪机场;北京时间 10 月 1 日 19 点 14 分,CA982 航班在经过 13 个小 时的飞行后,准点降落在北京首都国际机场,至此国航北京-纽约直飞首航成功完成。这是 中国承运人第一次经极地经营北京-纽约直飞航线。从北京至纽约原来的航线飞经上海(北 纬 31 ,东经 122 )东京(北纬 36 ,东经 140 )和旧金山(北纬 37 ,西经 123 )等处, 如果飞机飞行的高度为 10 千米,并假设地球是半径为 6371 千米的球体,试分析计算新航线 的空中航程较原航线缩短了多少。 解:本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长,再计算北京到上海、上海到东京、东京 到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和,然后求它们的差。3参考文献: 1、顾汉忠、徐艳,用向量知识推导球面距离公式,中学数学,2004,6
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