第八章第八章8.1一个电偶极子的电矩为l qp，求此电偶极子中垂线上距其中心为r（rl）处的一点场强。E+ E- E r -q +q 解：如图：220220241)2(41）（lrqElrqE设连线与电偶极子轴线之间的夹角为，可知 p 点的总场强为pE的大小为：coscosEEEp又42cos 2 2lrl232 2 0)4(4lrqlEp 又lr 得3 03 044rp rqlEp写成矢量式3 04rpEp8.2在真空中一长为l=10 cm 的细杆，杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度=1.010-5mC，在杆的延长线上，距杆的一端距离d=10 cm 的一点上，有一电量为C100 . 25 0q的点电荷，如习题 8.2 图所示，试求该点电荷所受的电场力。d l q0解：mcml1 . 010,mcmd1 . 010 取细杆最左端为坐标原点，向右为x轴正方向。则dxdq)(1049. 4)(1 4)(41)(415002 02 0CNdldxdxEdxdxdEl 负号表示场强方向与x轴反向又22901098. 841CmNk该点电荷所受的电场力大小NqEF98. 80方向与x轴正方向相反。8.7一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为4Rqr ，Rr （q为一正的常数）0，Rr 试求： （1）带电球体的总电量； （2）球内、外各点的电场强度； （3）球内、外各点的电势。解： （1）带电球体的总电量为：qrdRqrdVqR)34(3V04内（2）由于电荷分布是球对称的，所以场强分布也应该是球对称的，即与带电球体同心的 球面上各场强的大小一定相等，而方向都沿各自的矢径方向。先求球外任一点 A 处的场强，以 A 到球心的距离r（Rr ）为半径作一高斯面，通 过此面的电通量为 SrEdsE2Se4sdE又此高斯面所包围的电荷 q内q，由高斯定理，有024Eqr 得024rqE Rr 此结果说明， 均匀带电球体外的场强分布如球体中的电荷都集中在球心时所形成的一个 点电荷所产生的场强分布一样。下面再求球体内任一点 B 处的场强， 以 B 到球心距离r)(Rr 为半径作一同心球面为高斯面，通过此高斯面的电通量仍为24 rE，此高斯面所包围的电荷为44V02 44dvRqrdrrRqrqr内由高斯定理得：40204 2 444Rqr RqrrE)(Rr （3）求球内、外各点的电势由（2）可得：2 04rqE)(Rr ;42041 RqrE)(Rr ;选定无限远处的电势为零，并沿径向积分，得到球面外任一场点 P 的电势为：rqdrrql dEV r02 044 ，)(Rr 球面外任一场点的电势为：4 033124 RqrqRrdErdEl dEVRrR)(Rr 8.10一个均匀带电的球层， 其电荷体密度为， 球层内表面半径为1R， 外表面半径为2R，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。O R1 R2 r 解:选无穷远处为电势零点。 空腔内任一点 P 的电势为1212321RpRRRpl dEl dEl dEV由于电荷均匀分布在球层上， 因而空间的电场分布应具有球对称性， 即与带电球层同心 的球面上各点场强大小相等、方向沿径向。以任一点到球心的距离r为半径作高斯面，根据 高斯定理，当1Rr 时，由于高斯面内无电荷，00412 1ErE当21RrR时，高斯面包围的电量)(34)34(333Rrrdq V内由高斯定理有03 13 2 23)(44RrrE2 03 1323)( rRrE当2Rr 时，高斯面包围的电量)(34)34(3 13 23RRrdq V内由高斯定理得：2 03 13 22 33)(44rRRrE2 03 13 2 33)( rRRE)(22 12 2 032112132RRrdErdErdEVRrRRRRp例：一个正六边形边长为a，各定点有一点电荷，如图所示，将单位正电荷从无穷远处移到正六边形中心O点的过程中，电场力做的功为？解：设无穷远处为电势零点 由定义，点电荷q的电场中任意一点 P 的电势为：rqrdrrql dEV pp03 044又0V，aqV00+q+q+q+q+q+qaq00W所以从无穷远处移到中心O点做的功000)(VVVqW第九章第九章9.1长直载流导线过原点沿Oy放置，电流I指向y轴正向，试计算在原点O处的电流元dlI 产生的磁场中，在), 0 ,(),0 ,(), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(aaaaaaa各点处的磁感应强度大小。解：电流元在)0 , 0 ,(a处产生的磁感应强度大小为：20 20 14490sin aIdl aIdldB 方向沿z轴负方向电流元在)0 , 0(a处产生的磁感应强度大小为：040sin20 2aIdldB电流元在), 0 , 0(a处产生的磁感应强度大小为：200 34490sin2aIdl aIdldB 方向沿x轴正半轴方向电流元在)0 ,(aa处产生的磁感应强度大小为:20 20 4162 )2(445sin aIdl aIdldB 方向沿z轴负方向电流元在), 0 ,(aa处产生的磁感应强度大小为20 20 58)2(490sin aIdl aIdldB 方向沿)(ki方向zxyolIdPr9.2如习题9.2图所示， 为两根垂直于xy平面放置的导线俯视图， 他们各载有大小为I但方向相反的电流，求： （1）x轴上任意一点的磁感应强度；（2）x为何值时，B值最大，并给出最大值maxB解： （1）对于无限长直导线，有aIB 20本题中x轴上任意一点的磁感应强度，由对称 性：)()(22cos222022 21 220 1xdIdxddxdIBB 方向沿x轴的正方向。(2)由（1）)(220 xdIdB，易知当0x时，B有最大值dIB0max.9.6半径为R的均匀带电细圆环，单位长度所带电量为，以每秒n转绕通过环心并与环 面垂直的转轴匀速转动，求： （1）轴上任一点的磁感应强度。y O R 解： （1）nRI223 223 0)(yRnRBBy B 的方向为y轴正方向9.8两平行长直导线，相距0.4 m，每根导线载有电流A2021 II， 如习题9.8图所示， 试计算通过图中矩形方框的磁通量。解：建立坐标系如图电流1I在矩形方框内产生的磁通量为：习题 9.2 图yPrB1B2xy12oxdd 习题 9.8 图xdxd020110110 1ln22200llllIdxxlIdSBlll 同理，电流2I在周围空间产生的磁通量为：020120 20 20120 2ln2)2()2(2200llllIxlldxlllIlll 叠加得020120 21ln2I2llllAII2021，mll4 . 022022 26 4 . 0 4 . 0ln)4 . 0(104lll9.10长直同轴电缆由同一根圆柱形导线外套同轴圆筒形导体组成， 尺寸如习题9.10图所示，电缆中的电流从中心导线，由外面导体圆筒流回，设电流均匀分布，内圆柱与外圆筒之间 可作真空处理，求磁感应强度的分布。解：Il dB l0（1）ar 20 22 0 22aIrBaIrrB（2）brarIBIrB220 0（3）crb)(2)()(222220 2222 0 bcrrcIBbcrcIrB（4）cr 0By O R 第十章第十章10.1一导线ac弯成如习题10.1图所示形状，且cmbcab10，若使导线在磁感应强度TB2105 . 2的均匀磁场中，以速度scmv5 . 1，向右运动，问ac间电势差多大？哪一端电势高？解：在导线上取微元dl则 V10875. 130sin30sin0)()()(5bcBdlBl dBl dBl dBdcbcbba两端电势差的绝对值V10875. 15ACACEU，C 端电势高。10.2导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速度转动，3laO ，均匀磁场的磁感应强度B平行转轴向上，如习题10.2图所示，求（1）ba,两端的电势差； （2）ba,两端哪一点电势高。解： （1）03)(laOl dBvE18180cos203lBdrBrElaO同理320)(lObl dBvE1840cos2 320lBdrBrElOb）（V62lBEEEObaOab习题 10.1 图习题 11.17 图ba,两端的电势差为）（V62lBUab（2）062 lBUUUbaab所以 b 端电势高。10.5如习题10.5图所示，长直导线通以电流A5I,在其右方放一长方形线圈，两者共面，线圈长ml20. 01，宽ml10. 02，共1000匝，令线圈以速度sm0 . 3v垂直于直导线运动，求 AD 边到长直导线的距离m10. 0a时，线圈中的感应电动势的大小和方向。解： 如图，只有 AD，BC 切割磁感线T101250aIBADV1063 11VlNBEAD又T105)(2620laIBBCV1033 12vlNBEBC综上，线圈中的感应电动势大小：V1033BCADEEE方向沿顺时针方向。