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用心 爱心 专心1第二章第二章 函数函数二二 函数的性质与反函数函数的性质与反函数【考点阐述】函数的单调性.奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系 【考试要求】(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇 偶性的方法(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函 数的反函数 【考题分类】 (一)选择题(共 13 题)1.(安徽卷理 4)若 f x是R上周期为 5 的奇函数,且满足 11,22ff,则 34ffA、1B、1C、2D、2 【答案】A2.(北京卷文 6)给定函数1 2yx,1 2log (1)yx ,|1|yx,12xy,期 中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A) (B) (C) (D)3.(广东卷理 3 文 3)若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则 Af(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 【答案】D【解析】()33( ), ()33( )xxxxfxf x gxg x 故 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 4.(江西卷理 9)给出下列三个命题:用心 爱心 专心2函数11 cosln21cosxyx与lntan2xy 是同一函数;若函数( )yf x与( )yg x的图像关于直线yx对称,则函数(2 )yfx与1( )2yg x 的图像也关于直线yx对称;若奇函数( )f x对定义域内任意x都有( )(2)f xfx,则( )f x为周期函数其中真命题是 ABCD 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,错误;排除 A、B,验证, 2()(2)fxfxfx ,又通过奇函数得( )fxf x ,所以 f(x)是周期为 2 的周期函数,选择 C。5.(江西卷文 8)若函数1axyx的图像关于直线yx对称,则a为A1B1C1D任意实数 【答案】B 【解析】考查反函数,因为图像本身关于直线yx对称故可知原函数与反函数是同一函 数,所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。 或利用反函数的性质,依题知(1,a/2)与(a/2,1)皆在原函数图故可得 a=-1 6. (全国新卷理 5)已知命题1p:函数22xxy在 R 为增函数,2p:函数22xxy在 R 为减函数,则在命题1q:12pp,2q:12pp,3q:12pp和4q:12pp 中,真命题是(A)1q,3q(B)2q,3q(C)1q,4q(D)2q,4q【答案】C 解析:易知1p是真命题,而对2p:112 ln2ln2ln2(2)22xx xxy ,当0,)x时,122x x ,又ln20,所以0y,函数单调递增;同理得当(,0)x 时,函数单调递减,故2p是假命题由此可知,1q真,2q假,3q假,4q真另解:对2p的真假可以取特殊值来判断,如取1212xx ,得12517 24yy ;取3412xx ,得34517 24yy 即可得到2p是假命题,下略用心 爱心 专心37.(全国卷理 2)函数1ln(1)(1)2xyx 的反函数是(A)211(0)xyex(B)211(0)xyex(C)211(R)xyex(D)211(R)xyex【答案】D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得,即,又;在反函数中,故选 D.8.(全国卷文 4)函数 y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是(A)y=1xe-1(x0) (B)y=1xe+1(x0) (C) y=1xe-1(x R) (D)y=1xe+1 (x R)【解析】D:本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,函数 y=1+ln(x-1)(x1), 11ln(1)1,1,1yxxyxeye 9.(山东卷理 4 文 5)设( )f x为定义在 R 上的奇函数。当 x0 时,( )f x=2x+2x+b(b 为常数),则( 1)f =(A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3 【答案】D【解析】因为f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有0f(0)=2 +2 0+b=0,解得b=-1,所以当x0时, xf(x)=2 +2x-1,即f(-1)=-f(1)=12 +2 1-1 =-3-(),故选 D.【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. 10.(天津卷理 3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 【答案】B 【解析】因为一个命题的否命题是只对其结论进行否定,所以选 B。 【命题意图】本小题考查简易逻辑中的否命题的写法,属基础题。 11.(天津卷文 5)下列命题中,真命题是(A)mR,fxxmxxR2使函数()=()是偶函数(B)mR,fxxmxxR2使函数()=()是奇函数用心 爱心 专心4(C)mR,fxxmxxR2使函数()=()都是偶函数(D)mR,fxxmxxR2使函数()=()都是奇函数【答案】A【解析】当 m=0 时,函数=x22f(x)+mx=x是偶函数,故 A 正确。12.(重庆卷理 5)函数 41 2xxf x 的图象A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 【答案】D解析:)(241 214)(xfxfxxxx )(xf是偶函数,图像关于 y 轴对称13.(上海春卷 18)已知函数xxf241)( 的图像关于点 P 对称,则点 P 的坐标是( )A)21, 2( B)41, 2( C)81, 2( D(0,0)答案:C解析: 设( , )P m n,任意给点( , )M x y关于( , )P m n的对称点为(2,2)Nmxny,由1( )42xyf x,212(2)42m xnyfmx联立可解得,可知12,8mn ,故 选 C。 (二)填空题(共 2 题) 1.(江苏卷 5)设函数 f(x)=x(ex+ae-x),xR,是偶函数,则实数 a=_ 【答案】-1解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=1。2.(上海春卷 2)已知函数xaxxf2)(2是奇函数,则实数 a=_。答案:0解析:由奇函数定义有()( )0fxf x得222()2()220axxaxxax,故0a 。
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