定理定理 2-5（牛顿法平方收敛性）证明：牛顿迭代法的迭代函数为 。)()()(xfxfxx由于为的单根，所以，从而，即是的不动点。*x)(xf0)(* xf)(*xx*x)(x对迭代函数求导，得 )(x222)()()( )()()()(1)(xfxfxf xfxfxfxfx 由于，因此，由迭代法局部收敛性定理知，牛顿迭代公式局部收0)(* xf0)(* x敛。将在处泰勒展开，得)(*xfkx（之间）2*)(! 2)()()()(0kk kkkxxfxxxfxfxf *xxkk与在将牛顿迭代公式改写为 ，代入上式得1)()()(kkkkkxxfxxfxf2* 1*)(! 2)()(0kk kkxxfxxxf 即 )(2)( )(2* 1kkkk xff xxxx 从而 ，故牛顿法至少平方收敛。)(2)( )(2)(lim)(lim*2* 1 xfxf xff xxxxkkkkkk