20042004 年年“TRULY“TRULY 信利杯信利杯”全国初中数学竞赛试题全国初中数学竞赛试题一、选择题1. 已知实数，且满足，.则ba ) 1(33) 1(2aa2) 1(3) 1(3bb的值为【 】baaabb（A）23 （B） （C） （D）232132. 若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有 【 abch】（A） （B） （C） （D）2hab hba111222111 hba2222hba3一条抛物线的顶点为（4，） ，且与 x 轴的两个交点的横坐标为cbxaxy211一正一负，则 a、b、c 中为正数的【 】 （A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）只有和abcab4如图所示，在ABC 中，DEABFG，且 FG 到 DE、AB 的距离之比为 1:2. 若ABC 的面积为 32，CDE 的面积为 2，则CFG 的面积 S 等于 【 】（A）6 （B）8 （C）10 （D）125如果 x 和 y 是非零实数，使得和，那么 xy 等于【 3 yx03 xyx】 （A）3 （B） （C） （D）132131134二、填空题6 如图所示，在ABC 中，AB=AC，AD=AE，则 （度）.60BADEDC7据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离 d（单位：km）有的关系(k 为常数) . 2dkmnT 现测得 A、B、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知 A、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t，那么 B、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用 t 表示）8已知实数 a、b、x、y 满足，2yxba5byax则 .)()(2222yxabxyba9 如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC (BCAD)，BCCD12, 90D，若 AE10，则 CE 的长为 .45ABE10实数 x、y、z 满足 xyz5，xyyzzx3，则 z 的最大值是 .三、解答题11通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当100 x和时，图象是线段.2010 x4020 x（1）当时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；100 x（2）一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于 36.12已知 a，b 是实数，关于 x，y 的方程组有整数解，求 baxybxaxxy,23 ),(yxa，b 满足的关系式.13D 是ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB=3AD，P 是ABC 外接圆上一点，使得，求的值.ACBADPPDPB14已知，且，求的最小值. 0a0b0cacbacb242acb4220042004 年年“TRULY“TRULY 信利杯信利杯”全国初中数学竞赛试题全国初中数学竞赛试题一、选择题1. 已知实数，且满足，.则ba ) 1(33) 1(2aa2) 1(3) 1(3bb的值为【 】baaabb（A）23 （B） （C） （D）23213答：选（B） a、b 是关于 x 的方程03) 1(312xx的两个根，整理此方程，得，0152 xx ，0425 ，.5ba1ab故 a、b 均为负数. 因此.232222 ababbaababbaabbaabab baaabb2. 若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有 【 abch】（A） （B） （C） （D）2hab hba111222111 hba2222hba答：选（C） ，0 ha0 hb ，；2hab 222222hhhba因此，结论（A） 、 （D）显然不正确.设斜边为 c，则有，即有cbaabchhba21 21)(21，hba111因此，结论（B）也不正确.由化简整理后，得，abhba21 2122222111 hba因此结论（C）是正确的.3一条抛物线的顶点为（4，） ，且与 x 轴的两个交点的横坐标为cbxaxy211一正一负，则 a、b、c 中为正数的【 】 （A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）只有和abcab答：选（A）由顶点为（4，） ，抛物线交 x 轴于两点，知 a0.11设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为，即为方程1x2x02cbxax的两个根.由题设，知，所以.021xx0ac0c根据对称轴 x=4，即有，知 b0 时，方程无实根；0323xxx032 xx（2）当 x0 时，得方程0323xxx032 xx解得，正根舍去，从而.2131x2131x于是.2137 213133xy故.134 yx因此，结论（D）是在正确的.二、填空题6 如图所示，在ABC 中，AB=AC，AD=AE，则 （度）.60BADEDC答：30解：设，由 AB=AC 知2CAD，60)260180(21B，6060180BADB由 AD=AE 知，90ADE所以.30180ADBADEEDC7据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离 d（单位：km）有的关系(k 为常数) . 2dkmnT 现测得 A、B、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知 A、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t，那么 B、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用 t 表示）答：2t解：据题意，有，kt21608050.tk532因此，B、C 两个城市间每天的电话通话次数为.2645 532 320100802ttkTBC8已知实数 a、b、x、y 满足，2yxba5byax则 .)()(2222yxabxyba答：5解：由，得，2yxba4)(bxaybyaxyxba ，5byax .1bxay因而，.5)()()(2222byaxbxayyxabxyba9 如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC (BCAD)，BCCD12, 90D，若 AE10，则 CE 的长为 .45ABE答：4 或 6解：延长 DA 至 M，使 BMBE. 过 B 作 BGAM，G 为垂足.易知四边形 BCDG 为正方形， 所以 BC=BG. 又，GBMCBE RtBECRtBMG. BM=BE，45ABMABEABEABM，AM=AE=10.设 CE=x，则 AG=，AD=，DE=.x10xx2)10(12x12在 RtADE 中，222DEADAE ，22)12()2(100xx即，024102xx解之，得，.41x62x故 CE 的长为 4 或 6.10实数 x、y、z 满足 xyz5，xyyzzx3，则 z 的最大值是 .答：313解： ，zyx535)5(3)(32zzzzyxzxy x、y 是关于 t 的一元二次方程035)5(22zztzt的两实根. ，即0)35(4)5(22zzz，.0131032zz0) 1)(133(zz ，当时，.313z31 yx313z故 z 的最大值为.313三、解答题11通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当100 x和时，图象是线段.2010 x4020 x（1）当时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；100 x（2）一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于 36.解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象100 xcbxaxy2经过点（0，20） ， （5，39） ， （10，48） ，所以.4810100,39525,20cbacbac解得，.51a524b20c所以，. （5 分）20524 512xxy100 x（2）当时，.4020 x7657xy所以，当时，令 y=36，得，100 x20524 51362xx解得 x=4，（舍去） ；20x当时，令 y=36，得，解得4020 x765736x. （10 分）74287200x因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低24742447428于 36 时，讲授完这道竞赛题. （15 分）12已知 a，b 是实数，关于 x，y 的方程组有整数解，求 baxybxaxxy,23 ),(yxa，b 满足的关系式.解：将代入，消去 a、b，得baxybxaxxy23， （5 分）xyxy3.3) 1(xyx若 x+1=0，即，则上式左边为 0，右边为不可能. 所以 x+10，于是1x1.111123xxxxxy因为 x、y 都是整数，所以，即或0，进而 y=8 或0. 故11x2xxy或 （10 分） 82 yx 00 yx当时，代入得，； 82 yxbaxy082ba当时，代入得，. 00 yxbaxy0b综上所述，a、b 满足关系式是，或者，a 是任意实数.082ba0b（15 分）13D 是A