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命题:P 是椭圆1上一点,E、F 是左、右焦点,e 是椭圆的离心率,x ay b2222()ab 0则(1), (2)。|PEaexP|PFaexPP 是椭圆上一点,E、F 是上、下焦点,e 是椭圆的离心率,则y ax bab222210()(3)。PEaeyPFaeyPP,( )|4证明:|PF2|=(x0-c)+(y0)=x0-2cx0+c+b(1-x0/a)=(c/a)x0-2cx+a=a-(c/a)x0说明:数学题的题根不等同数学教学的根基,数学教学的根基是数学概念,如椭圆教学的根 基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时,不一定每次都是从定义出发,而是从由数学定义 引出来的某些已知结论(定理或公式)出发,如解答椭圆问题时,经常从椭圆的方程出发.巧用焦半径公式能妙解许多问题,下面举例说明。一、用于求离心率例分析:所以,所以。二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析:由得故,即,又。所以。三、用于求焦半径的取值范围例分析:所以。四、用于求两焦半径之积例分析:由知,所以的最小值为,最大值为。五、用于求三角形的面积例分析:。由余弦定理得。解得所以六、用于求点的坐标例分析:及得,解得所以。七、用于证明定值问题例分析:化简得所以为定值。八、用于求角的大小例分析:所以所以。九、用于求线段的比。例分析:由两式相减并化简得。所以。所以。令,则,故所以,所以。如图 设的坐标为,椭圆与双曲线的离心率分别为,则,消去得,。不妨设,由成等差数列得,即。 易知易知的最值不妨设为椭圆的左焦点,而,则。故。 设的坐标为,则 如图,连,则,由焦半径公式得,即。 若椭圆的焦点在轴上,则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径,而(或) 、(或)称为焦半径公式。如图 1,椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得,化简即得 1 如图为椭圆的两个焦点,以线段为直径的圆交椭圆于四点,顺次连结这四点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,则离心率。2 已知为椭圆的焦点,若椭圆上恒存在点,使,求离心率的取值范围。3 若是椭圆上的点,为椭圆的焦点,求的取值范围。4 若为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,求的最值。5 若是椭圆上一点,为椭圆的左、右焦点,且,求的面积S。 。6 若为椭圆上的点,为椭圆的焦点,且,则的横坐标为_。 由, ,7 已知为椭圆上两点,为椭圆的顶点,F为焦点,若成等差数列,求证:为定值。 ,8 如图 3,设椭圆与双曲线有公共焦点,为其交点,求。9 过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于,则。4,设的坐标分别为,AB 的中点为,则。AB 的垂直平行线方程为 N 的坐标为若椭圆的焦点为,离心率为为椭圆上任意一点,则有。例 1 已知点 P(x,y)是椭圆上任意一点,F1(-c,0)和 F2(c,0)12222 by ax是椭圆的两个焦点.求证:|PF1|=a+;|PF2|=a -.xacxac【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程 “消 y”即可. 【解答】 由两点间距离公式,可知|PF1|= (1)22)(ycx从椭圆方程解出12222 byax(2)(22 222xa aby代(2)于(1)并化简,得|PF1|= (-axa)xaca 同理有 |PF2|= (-axa)xaca 【说明】 通过例 1,得出了椭圆的焦半径公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)ac从公式看到,椭圆的焦半径的长度是点 P(x,y)横坐标的一次函数. r1 是 x 的增 函数,r2 是 x 的减函数,它们都有最大值 a+c,最小值 a-c.从焦半径公式,还可得椭 圆的对称性质(关于 x,y 轴,关于原点).(二) 、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式,虽然过程简便,但容易使人误解,以为焦半径公式的成 立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性,我们考虑从椭圆定义直接导出 公式来. 椭圆的焦半径公式,是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义,对焦半径直接用距离 公式即可. 例 2 P (x,y)是平面上的一点,P 到两定点 F1(-c,0) ,F2(c,0)的距离的和为 2a(ac0).试用 x,y 的解析式来表示 r1=|PF1|和 r2=|PF2|. 【分析】 问题是求 r1=f(x)和 r2=g(x).先可视 x 为参数列出关于 r1 和 r2 的方 程组,然后从中得出 r1 和 r2. 【解答】 依题意,有方程组 )()( 2222 2222 121ycxrycxrarr-得 42 22 1cxrr代于并整理得 r1-r2= xac2联立,得 xacarxacar21【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出,对椭圆的方程有自己的独 立性.由于公式中含 c 而无 b,其基础性显然. 二、焦半径公式与准线的关系 用椭圆的第二定义,也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右,点 P(x,y)是以 F1(-c,0)为焦点,以 l1:x=-为准线的椭圆上任意一点.PDl1 于 D.按椭圆ca2的第二定义,则有exacaxePDePFePDPF)(|2即 r1=a+ex,同理有 r2=a-ex.对中学生来讲,椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定cax2 义的“客观性”.因此,把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例 3 P(x,y)是以 F1(-c,0) ,F2(c,0)为焦点,以距离之和为 2a 的椭圆上任意一点.直线 l 为 x=-,PD1l 交 l 于 D1.ca2求证:.ePDPF|11【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex.对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+.)(2caca2故有.ecaxcaxecaxexa PDPF 22211)(|【说明】 此性质即是:该椭圆上任意一点,到定点 F1(-c,0) (F2(c,0) )与定直线 l1:x=-(l2:x=)的距离之比为定值 e(0e1).ca2 ca2三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 现行教材在椭圆部分,只完成了“从曲线到方程”的单向推导,实际上这只完成 了任务的一半.而另一半,从“方程到曲线” ,却留给了学生(关于这一点,被许多学 生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根). 其实,有了焦半径公式, “证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例 4 设点 P(x,y)适合方程.求证:点 P(x,y)到两定点12222 byaxF1(-c,0)和 F2(c,0)的距离之和为 2a(c2=a2-b2).【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例 2 导出的 焦点半径公式,很快可推出结果.【解答】 P(x,y)到 F1(-c,0)的距离设作 r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式 可知r1=a+ex 同理还有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 |PF1|+|PF2|=2a.即 P(x,y)到两定点 F1(-c,0)和 F2(c,0)的距离之和为 2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程,而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此, 围绕着椭圆焦半径的问题,运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆上一点,E、F 是左、右焦点,PE 与 x 轴所成的角为x ay bab222210(),PF 与 x 轴所成的角为,c 是椭圆半焦距,则(1);(2)|cosPEb ac2。|cosPFb ac2P 是椭圆上一点,E、F 是上、下焦点,PE 与 x 轴所成的角为y ax bab222210(),PF 与 x 轴所成的角为,c 是椭圆半焦距,则(3);(4)|sinPEb ac2。|sinPFb ac2证明:(1)设 P 在 x 轴上的射影为 Q,当不大于 90时,在三角形 PEQ 中,有cos| |PQ PExc PEP由椭圆焦半径公式(1)得。|PEaexP消去后,化简即得(1)。xP|cosPEb ac2而当大于 90时,在三角形 PEQ 中,有cos()| | PQ PEcx PEP,cos|xc PEP以下与上述相同。(2) 、 (3) 、 (4)的证明与(1)相仿,从略。五、变式的应用对于椭圆的一些问题,应用这几个推论便可容易求解。例 5. P 是椭圆上一点,E、F 是左右焦点,过 P 作 x 轴的垂线x ay bab222210()恰好通过焦点 F,若三角形 PEF 是等腰直角三角形,则椭圆的离心率是_。解:因为 PFEF,所以由(2)式得。|cosPFb acb a2290再由题意得| |EFPFcb aacaccacae22202 22222。210e 注意到。0121ee解得例 6. P 是椭圆上且位于 x 轴上方的一点,E,F 是左右焦点,直线 PF 的xy22100641斜率为,求三角形 PEF 的面积。4 3解:设 PF 的倾斜角为,则:。tancossin 4 31 74 3 7,因为 a10,b8,c6,由变式(2)得| ()PF 81061 772所以三角形 PEF 的面积SPF EF1 2 1 27264 3 7 24 3|sin 例 7经过椭圆的左焦点 F1 作倾斜角为 60的直线和椭圆相x ay bab222210()交于 A,B 两点,若,求椭圆的离心率。|AFBF112解:由题意及变式(2)得b acb a2260260180coscos()化简得。21 2322 3acaccaec a例 8设 F 是椭圆的上焦点,共线,共线,且xy2221PFFQ与MFFN与0。求四边形 PMQN 面积的最大值和最小值。PFMF解:设 PF 倾斜角为,则由题意知 PFMF,所以 MF 倾斜角为 90,而,由题意及(3)式得abc211,| | |sinsin()sinPQPFFQ1 21 21802 2 22同理得。由题意知四边形 PMQN 面积|cosMN 2 2 22SPQ MN1 2|1 22 2 22 2 2 4 216 84 16 8232 1742222222sincossincossincossincos所以当时,;当时,cos41Smax32 1712cos41 Smin() 32 171。16 9
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