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北北 京京 四四 中中 编 稿:李 岩 审 稿:谷 丹 责 编:严春梅直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系已知圆已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),直线,直线 L:Ax+By+C=01位置关系的判定:位置关系的判定:判定方法判定方法 1:联立方程组 得到关于 x(或 y)的方程(1)0相交;(2)=0相切;(3)r相离。例例 1、判断直线 L:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0 与圆 O:x2+y2=9 的位置关系。法一:法一:直线 L:m(x-y+2)+x+y-1=0 恒过点 ,点 P 在圆 O 内,直线 L 与圆 O 相交。法二:法二:圆心 O 到直线 L 的距离为 当 d0 mR所以直线 L 与直线 O 相交。法三:法三:联立方程,消去 y 得 2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当 m1 时,0,直线与圆相交;当 m=1 时,直线 L: ,此时直线 L 与圆 O 相交综上得直线 L 与圆 O 恒相交。评评法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法,但计算量偏大;而法一是先观察直线的特点再结合图,避免了大量计算,因此体现了数形结合的优点。例例 2、求圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大最小值法一:法一:设 P(cos,sin)为圆上一点,则点 P 到直线的距离为= 当 时,dmin=4.法二:法二:如图,直线 L 过圆心,且与直线 3x+4y=25 垂直于点 M, 此时,l 与圆有两个交点A、B,原点到直线 3x+4y=25 的距离|OM|=5,圆上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大值为:|AM|=|OM|+r=5+1=6最小值为:|BM|=|OM|-r=5-1=4评评法二是几何做法,充分体现了它计算量小的优势。2切线问题:切线问题:例例 3:(1)已知点 P(x0,y0)是圆 C:x2+y2=r2上一点,求过点 P 的圆 C 的切线方程;(x0x+y0y=r2)法一:法一:点 P(x0,y0)是圆 C:x2+y2=r2上一点, 当 x00 且 y00 时, 切线方程为 当 P 为(0,r)时,切线方程为 y=r,满足方程(1);当 P 为(0,-r)时,切线方程为 t=-r,满足方程(1);当 P 为(r,0)时,切线方程为 x=r,满足方程(1);当 P 为(-r,0)时,切线方程为 x=-r,满足方程(1);综上,所求切线方程为 x0x+y0y=r2法二:法二:设 M(x,y)为所求切线上除 P 点外的任一点,则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2,即 x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2x0x+y0y=r2且 P(x0,y0)满足上面的方程。综上,所求切线方程为 x0x+y0y=r2。(2)已知圆 O:x2+y2=16,求过点 P(4,6)的圆的切线 PT 的方程。解:当 PT 方程为 x=4 时,为圆 O 的切线,满足题意:设 PT 的方程为 y-6=k(x-4),即 kx-y-4k+6=0则圆心 O 到 PT 的距离为 所以 PT 的方程为 综上,切线 PT 的方程为 x=4,5x-12y+52=0评评(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法,但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线,应有两条;过圆上一点作圆的切线,只有一条。例例 4、求过下列各点的圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 的切线方程:(1) ; (2) B(4,5)解:(1)圆 C:(x-1)2+(y+2)2=9,圆心 C(1,-2),r=3,且点 A 在圆 C 上,法一:法一:设切线方程为 ,则圆心到切线的距离为,所求切线方程为 法二:法二:ACl, 所求切线方程为 (2)点 B 在圆外,所以过 B 点的切线有两条设切线方程为 y=k(x-4)+5,则圆心 C 到切线的距离为又直线 x=4 也是圆的切线方程,所求切线方程为 例例 5、设点 P(x,y)是圆 x2+y2=1 上任一点,求 的取值范围。法一:法一:u 表示过点(-1,2)且与圆有交点的直线 l 的斜率,如图,当直线 l 与圆相切时,PA 的斜率不存在,直线 PB 的方程为 ux-y+u+2=0,圆心到直线 PB 的距离为 法二:法二:设 x=cos,y=sin,则 评评法一利用数形结合的思想,是解决这类问题的基本方法。 法二把这个几何问题转化为求三角函数 值域的问题,但此三角函数问题计算量偏大,难以解决,反过来,我们可以把求 值域的问题转化为本题去解决,就显得更好用的多。要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题。例例 6、从直线 L:2x-y+10=0 上一点做圆 O:x2+y2=4 的切线,切点为 A、B,求四边形 PAOB 面积的最小值。解: 当|OP|最小时,SPAOB最小,又当 OPL 时|OP|最小,此时 例例 7、(切点弦)过圆外一点 P(a,b)做圆 O:x2+y2=r2的切线,切点为 A、B,求直线 AB 的方程。法一:法一:如图, ,由射影定理|OA|2=|OD|OP|知, O 分 当 a=0 或 b=0 时,切线方程满足上式,所求切线的方程为 ax+by=r2法二:法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则过 A 点的切线为 x1x+y1y=r2,又过点 P(a,b)ax1+by1=r2,同理有 ax2+by2=r2由以上两式可以看出 A、B 的坐标都满足方程 ax+by=r2,它是一条直线的方程,又过两点的直线有且仅有一条,直线 AB 的方程为 ax+by=r2。评评法一先求得直线 AB 的斜率及其上一点的坐标,再由点斜式写出直线的方程,做起来运算量比较大;而法二巧妙的避免了求 A、B 的坐标;设而不求 A、B 两点的坐标,体现了对曲线与方程概念的深刻理解。3、弦长问题、弦长问题例例 8、(1)若点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程。解:圆心 C(1,0),kPC=-1,ABPC,kAB=1,且 AB 过点 P,直线 AB 的方程为 y+1=x-2 即 y=x-3(2)若直线 y=2x+b 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹。解:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,且 A(x1,y1) ,B(x2,y2)由 ,消去 y 得 5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得, 由消去 b 得 ,又因 M 在圆内,所求轨迹为直线 在圆内的部分。(3)经过原点作圆 x2+y2+2x-4y+4=0 的割线 l,交圆于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹。法一:法一:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,直线 l 的方程为 y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2)由 消去 y 得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0又x0 代入得 x2+y2+x-2y=0M 点在圆内,所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。法二:法二:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,圆心 C(-1,2)CMOM 当 x0 且 x-1 时,有 ,当 x=0 时,点 M 不存在;当 x=-1 时,点 M 与 C 重合,符合方程M 点在圆内,所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。法三:法三:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,圆心 C(-1,2)CMOMM 点在以 OC 为直径的圆上,即 ,M 点在圆内,所求轨迹为圆 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。习题习题1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是_A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能2.直线 l 过点 A(0,2)且与半圆 C:(x-1)2+y2=1(y0)有两个不同的交点,则直线 l 的斜率的范围是_3.若圆 x2+y2-4x-5=0 上的点到直线 3x-4y+k=0 距离的最大值是 4,求 k4.一个圆经过点 P(2,-1)和直线 x-y=1 相切,且圆心在 y=-2x 上,求它的方程。5.设 a+b+1=0,试求:a2+b2-2a-2b+2 的最小值6.已知实数满足:x2+y2-4y+1=0 (1)求 y-2x 的取值范围;(2)求 的取值范围。7.自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线的方程。8.求圆 x2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0(aR 且 a0)在 x 轴上截得的弦长。9.已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点,定点 Q(4,0),求线段 PQ 中点的轨迹方程。答案:答案:1.B; 2、 ; 3、-1 或-11 4、(x-1)2+(y+2)2=2 或(x-9)2+(y+18)2=338;5、 6、(1) (2) 7、4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0; 8、2|a| 9、
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