第 28 专题讲座-关于不定积分中的原函数存在性智 轩 于湘江杨柳邦原函数问题是不定积分范畴，可积问题是定积分范畴，不可混淆。当存在第一类间断点时，则一定没有原函数， f x f x 0xf t dtf x证明如下：设是的第一类间断点，且在上有原函数，则0x f x f x 0U x F x 0Fxf xxU x由于第一类间断点单侧极限存在，则推出 00000000 000limlimlimlimxxxxxxxxf xFxFxFxf x f xxf xFxFxFxf x在 连续，矛盾。所以，当存在第一类间断点时，则一定没有原函数。 f x f x当存在第二类间断点时，则可能有也可能没有原函数 f x f x【例 1】在内不连续， 112 sincos, 00, 0xxf xxx x 1, 1可见存在第二类间断点，但可以验证它存在原函数，即 f x 21sin, 00, 0xxF xx x 【例 2】，则： 211, 0 , cos, 04xxx f xF xf t dtxx - +- + - +A F xf xBF xf xCF xDF xf x为的一个原函数在，上可微，但不是的原函数在，上不连续在，上连续，但不是的原函数解：选。 D A +00lim1, lim1, 04xxf xf xxA 为第一类间断点，故不正确。不正确，理由在的分析中。 B C C 000,f xxabaxxb当有第一类间断点 ， 但在 和 内必连续，可以证明：对本题我们有： , , ,xaF xf t dt xa bab为 上的连续函数。 2310210141, 033 41cossin, 0443xxxdxxxx F x xdxxdxxxx显然，是连续的。但是： F x 30414sin+4333lim xxxxx FxFxf xx不存在，即不可导故不正确。 B正确。可见存在第一类间断点，不存在原函数。 D f x