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1线性代数综合练习题(一)线性代数综合练习题(一)一、单项选择题一、单项选择题 1. 对于阶可逆矩阵,则下列等式中( B )不成立.nAB(A) 对 (B) 111BAAB)/1 ()/1 (111BAAB(C) 对 (D) 对111BAABABAB/112. 若为阶矩阵,且,则矩阵( B ).An03A1)(AE(A) (B) (C) (D) 2AAE2AAE2AAE2AAE3. 设是上(下)三角矩阵,那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为( C ).AAA(A) 全都非负 (B) 不全为零 (C)全不为零 (D)没有限制4. 设 ,33)(ijaA 133312321131131211232221aaaaaaaaaaaa B 1000010101P 1010100012P那么( C ).(A) (B) (C) (D) BPAP21BPAP12BAPP21BAPP125. 若向量组线性相关,则向量组内( A )可由向量组其余向量线性表示.m,21L(A)至少有一个向量 (B)没有一个向量 (C)至多有一个向量 (D)任何一个向量 6. 若,其秩( B ). 210253143212 A)(AR(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7. 若方程中,方程的个数小于未知量的个数,则有( B ).bAX (A)必有无穷多解 (A)必有非零解 bAX 0AX(C)仅有零解 (D)一定无解0AX0AX8. 若为正交阵,则下列矩阵中不是正交阵的是( B ).A(A) (B) (C) (D) 1AA24ATA9. 若满足条件( D ) ,则阶方阵与相似.nAB(A) (B) (C)与有相同特征多项式 BA )()(BRARAB(D)与有相同的特征值且个特征值各不相同ABn 二、填空题二、填空题1. 若向量组线性无关,则向量组是线性 无关无关 .321,321211,22. 设为 4 阶方阵,且,是的伴随阵,则的基础解系所含的解向量的个数A3)(ARAA0XA是 .33. 设为阶正交阵,且,则 1 .An0AA4. 设,线性相关,则 3 .2, 1, 115, 22k1, 6, 13k5. 设,则 . 300050004 A1)2(EA 100000031216. 设三阶方阵有特征值 4,5,6,则 120 ,的特征值为 4,5,6 AATA,的特征值为 .1A61 51 41,三、计算题三、计算题 1. 计算行列式babbbbbabbbbbabbbbba2. 已知矩阵,求. 200012021 A10A3. 设三阶方阵满足 ,其中AiiiA)3 , 2 , 1( i,求.T)2 , 2 , 1 (1T) 1 , 2, 2(2T)2 , 1, 2(3A4. 取何值时,非齐次线性方程组1610522321321321xxxxxxxxx (1)有惟一解;(2)无解; (3)有无穷多解,并求其通解. 四、证明题四、证明题1. 设为阶可逆阵,.证明的伴随阵.AnEAA 2AAA 2. 若,都是阶非零矩阵,且.证明和都是不可逆的.ABn0ABAB3线性代数综合练习题(一)参考答案线性代数综合练习题(一)参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D 二、填空题二、填空题 1. 无关; 2. 3 ; 3. 1 ; 4. 3 ;5. ; 6. 120 , 4,5,6 , . 1000000312161 51 41,三、计算题三、计算题1. 解: babbbbbabbbbbabbbbbaaaaaaabbbba000000 . 4000000000aaaabbba2. 解:先求的特征值,A= 200012021 EA)1)(3)(2(, 1, 3, 2321当时,由得,的对应于 2 的特征向量是, 210)2(XEAA 1001当时,有得,的对应于的特征向量是,320)3(XEAA3 0112当时,有得,的对应于的特征向量是, 120)(XEAA1 0113取. . 1001 01121, 01121324令 ,则,所以321,P 1321APPAPPT. TPPA1010132 1010 2110 2110 2110 212000) 13() 13(0) 13() 13(3. 解:因为,所以)3 , 2 , 1( iiAii, 300020001 ),(),(321321A因此 . 1 321321),( 300020001 ),( A又,所以, ),(321 2121222211 321),( 21212222191故 . A 212122221300020001 21212222191 622250207314. 解:, )3)(5( 61011211 D(1)当,即且时,方程组有惟一解. 0D53(2)当时,5 1610155122151 ),(ABr 100013902151此时,方程组无解, 3)(, 2)(BRAR(3)当时,3 1610153122131),(ABr 0000100171 75717 78此时,方程组有无限多个解.,并且通解为2)()(BRAR5. 10757871717321 cxxx )(Rc四、证明题四、证明题 1. 证:根据伴随矩阵的性质有EAAA 又,所以,再由于可逆,便有.EAA 22AAA AAA 2. 证:假设可逆,即存在,以左乘的两边得,这与是阶非零矩阵矛盾;A1A1A0AB0BBn类似的,若可逆,即存在,以右乘的两边得,这与是阶非零矩阵矛盾,B1B1B0AB0AAn因此,和都是不可逆的.AB线性代数综合练习题(二)线性代数综合练习题(二)一、选择题一、选择题1. 设是四维列向量,且,则21321,m1321,n3221,( ) 。21123,(A) (B) (C) (D) nm)(nmmn nm2. 如果为三阶方阵,且,则( ) 。A2AA(A) 4 (B) 8 (C) 2 (D) 16 3. 设为阶方阵,且,则( ) 。An0A(A)中必有两行(列)的元素对应成比例 ,A (B)中至少有一行(列)的元素全为 0 , A (C)中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合, A (D)中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。A4. 设矩阵、的秩分别为,则分块矩阵的秩满足( ) 。nmAB21,rr),(BAr(A) (B) (C) (D) 21rrr21rrr21rrr21rrr 5. 设为阶方阵,是阶正交阵,且,则下列结论不成立的是( ) 。AnCnACCBT(A)与相似 (B)与等价ABAB (C)与有相同的特征值 (D)与有相同的特征向量ABAB 二、填空题二、填空题61. 阶行列式 。nabbqbaba000000000000LLMMMMMLL2. 设,则 。T)3 , 2 , 1 (T 31,21, 1TAnA3. 设三阶矩阵,满足,且,则 。ABBAABAA61 714131000000 AB4. 设四阶方阵,则 。1100210000120025A1A5. 设向量组,线性相关,则 。T3 , 4 , 11Tt1, 22T1 , 3 , 23t6. 设三阶方阵的特征值为 1,2,3,则 ,的特征值为 ,的特AA1AA征值为 。7. 设二次型为正定二次型,则 的范围是 32212 32 22 132122),(xtxxxxxxxxxft。 三、计算题三、计算题1. 求向量组,的秩与一个最大无关组, 0111 3122 2133 7054 13895并把其他向量用最大无关组线性表示。2. 为何值时,方程组有惟一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求出 1554212321321321xxxxxxxxx 方程组的通解。3. 三阶实对称矩阵的特征值为,对应于特征值的特征向量为A1113217, 求。 11
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