钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 1 -2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线垂直的切线方程为_ .1 yx（2）已知，且 f(1)=0, 则 f(x)=_ .xxxeef)(（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为L222 yx Lydxxdy2_.（4）欧拉方程的通解为. _ .)0(02422 2xydxdyxdxydx（5）设矩阵，矩阵 B 满足，其中为 A 的伴随矩阵，E 是单位 100021012 AEBAABA*2*A矩阵，则 _ .B（6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则= _ .DXXP二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前 0xdttdttdttxxx 03002sin,tan,cos2 一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . ,（8）设函数 f(x)连续，且则存在，使得, 0)0( f0(A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.)0 ,(C) 对任意的有 f(x)f(0) . ), 0(x(D) 对任意的有 f(x)f(0) . )0 ,(x（9）设为正项级数，下列结论中正确的是1nna(A) 若=0，则级数收敛.nnna lim1nna钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 2 -（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散. nnnalim1nna(C) 若级数收敛，则. 1nna0lim2 nnan(D)若级数发散, 则存在非零常数，使得. 1nna nnnalim（10）设 f(x)为连续函数，则等于ttydxxfdytF 1)()()2(F(A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. （11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A) . (B) . (C) . (D) . 101001010100101010110001010100001110 （12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （13）设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的，数满足，若) 10(uuXP，则等于 xXPx(A) . (B) . (C) . (D) . 2u21u21u1u（14）设随机变量独立同分布，且其方差为 令，则) 1(,21nXXXnL. 02 niiXnY11(A) Cov( (B) . .),21nYX2 1),(YXCov(C) . (D) . 2 12)(nnYXD2 11)(nnYXD（15） （本题满分（本题满分 12 分）分）设, 证明.2ebae)(4lnln222abeab（16） （本题满分（本题满分 11 分）分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 3 -现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？).100 . 66k注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. （17） （本题满分（本题满分 12 分）分） 计算曲面积分,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI 其中是曲面的上侧.)0(122zyxz（18） （本题满分（本题满分 11 分）分）设有方程，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，01 nxxnnx1级数收敛.1nnx（19） （本题满分（本题满分 12 分）分）设 z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.0182106222zyzyxyx),(yxzz （20） （本题满分（本题满分 9 分）分） 设有齐次线性方程组)2(, 0)(, 02)2(2, 0)1 (212121 nxannxnxxxaxxxxannnLLLLLLLLL试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21） （本题满分（本题满分 9 分）分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化. 51341321aA(22)（本题满分（本题满分 9 分）分）设 A,B 为随机事件，且，令21)(,31)(,41)(BAPABPAP;, , 0, 1不发生发生 AAX ., , 0, 1不发生发生BBY 求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X 和 Y 的相关系数.XY（23） （本题满分（本题满分 9 分）分） 设总体 X 的分布函数为钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 4 -, 1, 1, 0,11),(xx xxF其中未知参数为来自总体 X 的简单随机样本，求：nXXX, 121L（I） 的矩估计量；（II） 的最大似然估计量.钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 5 -2004 年数学一试题分析、详解和评注年数学一试题分析、详解和评注 一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线垂直的切线方程为.1 yx1 xy【分析分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐 标.【详解详解】 由，得 x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为11)(lnxxy)0 , 1 (， 即 .) 1(10xy1 xy【评注评注】 本题也可先设切点为，曲线 y=lnx 过此切点的导数为，得)ln,(00xx1100 xy xx，由此可知所求切线方程为， 即 .10x) 1(10xy1 xy本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知，且 f(1)=0, 则 f(x)= .xxxeef)(2)(ln21x【分析分析】 先求出的表达式，再积分即可.)(xf 【详解详解】 令，则，于是有textxln， 即 tttfln)(.ln)(xxxf积分得 . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= Cxdxxxxf2)(ln21ln)(.2)(ln21x【评注评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .L222 yx Lydxxdy223【分析分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为222 yx.20:,sin2,cos2 yx于是 dydxxdy Lsin2sin22cos2cos222 0=.23sin22 02 d【评注评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参 数法化为定积分计算即可.钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 6 -（4）欧拉方程的通解为 .)0(02422 2xydxdyxdxydx221 xc xcy【分析分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.tex 【详解详解】 令，则 ，tex dtdy xdtdyedxdt dtdy dxdyt1，11122222222dtdy dtyd xdxdt dtyd xdtdy xdxyd代入原方程，整理得，02322 ydtdy dtyd解此方程，得通解为 .2212 21xc xcececytt【评注评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程tex ，)(22 2xfcydxdybxdxydax可化为 ).(22 tefcydtdybdtdy dtyda（5）设矩阵，矩阵 B 满足，其中为 A 的伴随矩阵，E 是单位 100021012 AEBAABA*2*A矩阵，则 .B91【分析分析】 可先用公式进行化简EAAA*【详解详解】 已知等式两边同时右乘 A，得， 而，于是有AABAAABA*23A， 即 ，ABAB 63ABEA)63(再两边取行列式，有 ，363ABEA而 ，故所求行列式为2763 EA.91B【评注评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式*A钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 7 -进行化简.EAAAAA*（6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则= .DXXPe1【分析分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解详解】 由题设，知，于是21 DX=DXXPdxeXPx11=.1 1eex【评注评注】 本题应记住