前三题练习（4）答案1(本小题满分 13 分) 已知向量, , .a)sin,(cosxxb)cos,cos(xxc)0 , 1(（）若，求向量、的夹角；6xac（）当时，求函数的最大值.89,2x12)(baxf解解: : （）当时，6x2 分 2222coscos, cossin( 1)0a cxa cacxxr rr rrr3 分6coscosx4 分5cos6carr,0 6 分65,carr（） 8 分1)cossincos(212)(2xxxbaxf) 1cos2(cossin22xxx10 分)42sin(22cos2sinxxx89,2x，故 11 分2 ,4342x22, 1)42sin(x当,即时, 13 分43 42x2x1)(maxxf12(本小题满分 13 分) 已知袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个红球.()从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数的数学期望；()从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取 4 次球，求共取得红球次数的方差.解：解：() 依题意，的可能取值为 2,3，4 1 分； 3 分52)2(2 62 4AAP； 5 分52)()3(3 61 32 21 41 2ACACCP； 7 分51)()4(4 61 33 31 42 2ACACCP . 514 514523522E故取球次数的数学期望为 8 分14.5() 依题意，连续摸 4 次球可视作 4 次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为，则3210 分)32, 4(B. 98)321 (324D故共取得红球次数的方差为 13 分8.9 13 (本小题满分 13 分) 如图，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC，M 为 BC 的中点.22()证明：AMPM； ()求二面角 PAMD 的大小； ()求点 D 到平面 AMP 的距离. 解法 1：() 取 CD 的中点 E，连结 PE、EM、EA PCD 为正三角形PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=3平面 PCD平面 ABCD PE平面 ABCD 3 分 四边形 ABCD 是矩形 ADE、ECM、ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3365 分222AEAMEM AME=90 AMPM 6 分 ()由()可知 EMAM，PMAM PME 是二面角 PAMD 的平面角8 分tan PME=133EMPEPME=45 二面角 PAMD 为 45； 10 分()设 D 点到平面 PAM 的距离为，连结 DM，则d11 分PAMDADMPVVdSPESPAMADM31 31MPDCBEBCDPM而2221CDADSADM在中，由勾股定理可求得 PM=.Rt PEM6,132PAMSAM PM所以：,d33132231.362d即点 D 到平面 PAM 的距离为.13 分362解法 2：() 四边形 ABCD 是矩形BCCD 平面 PCD平面 ABCD BC平面 PCD2 分 而 PC平面 PCDBCPC 同理 ADPD在 RtPCM 中，PM= 62)2(2222 PCMC同理可求 PA=，AM=3265 分222PAPMAM PMA=90 即 PMAM 6 分 ()取 CD 的中点 E，连结 PE、EM PCD 为正三角形PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=3平面 PCD平面 ABCD PE平面 ABCD 由() 可知 PMAMEMAM PME 是二面角 PAMD 的平面角8 分sin PME=2263PMPEPME=45 二面角 PAMD 为 45； 10 分 ()同解法() 解法 3：() 以 D 点为原点，分别以直线 DA、DC 为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,Dxyz依题意，可得),0 , 2 , 0(),3, 1 , 0(),0 , 0 , 0(CPDEBCDPM2 分)0 , 2 ,2(),0 , 0 ,22(MA)3, 1 ,2()3, 1 , 0()0 , 2 ,2(PM4 分)0 , 2 ,2()0 , 0 ,22()0 , 2 ,2(AM 0)0 , 2 ,2()3, 1 ,2( AMPM即,AMPM. 6 分AMPM ()设，且平面 PAM，则),(zyxn n即 00AMnPMn0)0 , 2 ,2(),(0)3, 1 ,2(),(zyxzyx 022032yxzyxyxyz23取，得6 分1y)3, 1 ,2(n取，显然平面 ABCD) 1 , 0 , 0(pp2263|,cos pnpnpn结合图形可知，二面角 PAMD 为 45；10 分() 设点 D 到平面 PAM 的距离为，由()可知与平面 PAM 垂直，则d)3, 1 ,2(n=. |nnDAd362)3(1)2(| )3, 1 ,2()0 , 0 ,22( |222 即点 D 到平面 PAM 的距离为.13 分362zyxMPDCB