1通项公式的常见题型与解题方法通项公式的常见题型与解题方法题型题型 1 1 已知数列前几项求通项公式已知数列前几项求通项公式观察法观察法 在我们的教材中，有这样的题目：1 数列的通项0,2,0,2Lna 2数列的通项1111,1 2 2 33 4 4 5Lna 例 1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：例 2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：练习:写出下面数列的一个通项公式：练习根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有_ 个n 点（1） （2） （3） （4） （5） 相关的高考试题有： 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第堆最底层（第一2,3,4,L层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第nn( )f n堆n的乒乓球总数，则；(3)_f( )_f n 222221 31 41 51(1),;23451111(2),.1 2 2 33 4 4 5(1) 1,7, 13,19,;L(2)7,77,777,7777,77777,;L(3)5,0, 5,0,5,0, 5,0,.L31 31 3(1) 1,;23 45 6L3 1 5 37(2),5 2 11 7 17L。 。 。 。 。 。2（答案用表示）. n题型题型 2 2 由由a an n与与S Sn n的关系求通项公式的关系求通项公式 已知数列的前项和，则 nan21()2nSnnna 已知数列的前项和，则 nan32nnS na 这类题目主要注意与之间关系的转化即：nsna= =na11nnS SS(n=1)(n2)na nkkkaaa211)(一般已知条件中含 an与 Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式例如：设数列an的前项的和 Sn=（an-1） (n)31N()求 a1；a2； ()求证数列an为等比数列 例 3.数列an的前 n 项和 Sn=32n-3,求数列的通项公式. 练习 1：设数列an的前 n 项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是 否为等差数列. 练习 2：已知数列an的前 n 项和为Sn，a12，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an 相关的高考试题有： 1.已知数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1（）写出求数列an的前 3 项 a1,a2,a3；（）求数列an的通项公式；2.(07 福建文 21)数列的前 n 项和为，=1， ( n),求的通nanS1a12nnaSN na项公式。3.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列( )yf x( )62fxx的前 n 项和为，点均在函数的图像上nanS( ,)()nn SnN( )yf x（）求数列的通项公式；na3（）设，是数列的前 n 项和，求使得对所有都成11n nnba anT nb20nmT nN立的最小正整数 m题型题型 3 3 已知数列递推公式求通项公式已知数列递推公式求通项公式1 已知数列的首项，且，则 3n-2 na11a 13(2)nnaanna 2已知数列的首项，且，则 na11a 123(2)nnaanna 14 33n3已知数列的，且,则 n na11a 22a 212nnnaaana 一、由等差，等比演化而来的由等差，等比演化而来的“差型差型” ， “商型商型”递推关系递推关系 题组一：题组一：数列中，求的通项公式 na111,2nnaaana21nan变式 1：数列中，求的通项公式 na111,nnaaanna211122nann变式 2：数列中，求的通项公式 na1 111,3nnnaaa na131 2nna变式 3：已知数列满足，求na11a1111nnaana1nan变式 4：数列中，求的通项公式 na1121,2n n naaaana2 1nan由此推广成差型递推关系：由此推广成差型递推关系：)(1nfaann(2)n 累加：= ，于是只要112211)()()(aaaaaaaannnnnL1 2)(anfn 可以求和就行)(nf 题组二、题组二、已知数列的首项，且，则 na11a 13(2)nnaanna 13n变式 1：已知数列的首项，且，则 na11a 11(2)nnnaannna 1 n变式 2：数列中，求的通项公式na112,32nnaaana31n na 变式 3：数列是首项为 1 的正项数列，na4且，求的通项公式22 11(1)0,(1,2,3,)nnnnnanaaanLna1nan由此推广成商型递推关系：由此推广成商型递推关系：)(1ngaann累乘： 1 12211aaa aa aaannnn nLn ang21)(二可以一次变形后转化为差型，商型的二可以一次变形后转化为差型，商型的 1 1)(1nfpaann例如：设是常数，且， （） 求通项0a1 132 n nnaa*Nnna说明：当时，上述三种方法都可以用；bannfcnf)()(或当时，若用方法 1，构造的等比数列应该是 而2)(nnfrqnpnan2用其他两种方法做则都比较难 用迭代法关键是找出规律，除含外的其它式子，常常是一个等比数列的求和1a 问题2 2型型q nnapa)(1例如：已知，首项，求2 1)(21nnaa11ana