绝密启用前20092009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学数学参考公式：参考公式：样本数据的方差12,nx xxL221111() ,nnii iisxxxxnn其中一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位分。请把答案填写在答题卡相应的位置上置上.1.若复数，其中 是虚数单位，则复数的实部为.12429 ,69zi zii12()zz i【答案】20【解析】略2.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积ab30o| 2,|3abab .ga b【答案】3【解析】。32332ga b3.函数的单调减区间为 .32( )15336f xxxx【答案】( 1,11)【解析】，2( )330333(11)(1)fxxxxx由得单调减区间为。(11)(1)0xx( 1,11)4.函数为常数，sin()( , ,yAxA 注注 意意 事事 项项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。112 33Oxy在闭区间上的图象如图所示，则 .0,0)A,0【答案】3【解析】，所以，3 2T2 3T35.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】0.2【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为 .2s 【答案】2 5【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 .W 【答案】22【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐标系中，点 P 在曲线上，xoy3:103C yxx且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P的坐标为 .【答案】( 2,15)【解析】略10.已知，函数，若实数满足，则的大51 2a( )xf xa,m n( )( )f mf n,m n开始0S 1T 2STS10S 2TTWST输出 W结束YNwww.zgxzw.com 中国校长网中国校长网资源频道 http:/zy.zgxzw.com 小关系为 .【答案】mn【解析】略11.已知集合，若则实数的取值范围是2|log2Axx(, )Ba ABa，其中 .( ,)c c 【答案】4【解析】由得，；由知，所以4。2log2x 04x(0,4AAB4a c 12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线 与内的一条直线平行，则 和平行；ll（3）设和相交于直线 ，若内有一条直线垂直于 ，则和垂直；ll（4）直线 与垂直的充分必要条件是 与内的两条直线垂直.ll上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】 （1） （2）【解析】略13如图，在平面直角坐标系中，为椭圆xoy1212,A A B B的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点22221(0)xyababF12AB1B FT，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .OTMOT【答案】2 75e 【解析】用表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可, ,a b c转化解得离心率.14设是公比为的等比数列，令 naq| 1q 若数列有连续四项在集合1(1,2,)nnbanL nb中，则 .53, 23,19,37,826q 【答案】9【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解.二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤.15 （本小题满分 14 分） 设向量(4cos ,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abcxyA1B2A2OTM（1）若与垂直，求的值；a2bctan()（2）求的最大值;|bc（3）若，求证：.tantan16ab【解析】由与垂直，a2bc(2 )20abca ba c即，；4sin()8cos()0tan()2(sincos,4cos4sin)bc2|bc22sin2sincoscos2216cos32cossin16sin1730sincos，1715sin2最大值为 32，所以的最大值为。|bc4 2由得，tantan16sinsin16coscos即，4cos4cossinsin0所以. ab16 （本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，111ABCABCE,F11AB,ACD11BC11ADBC求证：（1）EFABC乙乙（2）111AFDBBCC乙乙乙乙【解析】证明：（1）因为分别是的E,F11AB,AC中点，所以，又，EF / BCEF 面ABC，所以；BC 面ABCEFABC乙乙ABCA1B1C1EFDwww.zgxzw.com 中国校长网中国校长网资源频道 http:/zy.zgxzw.com （2）因为直三棱柱，所以，又111ABCABC1111BBABC面11BBAD，所以，又，所以11ADBC111ADBCC面B11ADAFD面。111AFDBBCC乙乙乙乙17 （本小题满分 14 分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足 nanSn2222 234577aaaa ,S（1）求数列的通项公式及前项和； nannS（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. m12mmma a a na解析：（1）设公差为，则，d2222 2543aaaa由性质得，43433 ()()d aad aa因为，0d 所以，430aa即，1250ad又由得，77S 176772ad解得，15a 2d 所以的通项公式为，前项和。 na27nann26nSnn（2），令，122725 23mmma a( m)( m) a( m)23mt，1242mmma a(t)(t) at86tt 因为 是奇数，所以 可取的值为，tt1当，时，是数列中的项；1t 2m 863tt2 573 na，时，数列中的最小项是，不符合。1t 1m 8615tt na5所以满足条件的正整数。2m 18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆xoy22 1:(3)(1)4Cxy22 2:(4)(5)4Cxy（1）若直线 过点，且被圆截得的弦长为，求l(4,0)A1C2 3直线 的方程；l（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆12ll乙1C2C1l截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足1C2l2C条件的点 P 的坐标.【解析】(1) 或，0y 7(4)24yx (2)P 在以 C1C2的中垂线上，且与 C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P 坐标为或。 3 13(,)2 251( ,)2219.(本小题满分 16 分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单a价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为mm man.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易n na1h2h的综合满意度为.1 2hh现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为元和元，甲买进 A 与AmBm卖出 B 的综合满意度为，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙h乙(1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；h乙h乙AmBm3 5ABmmh乙h乙(2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大3 5ABmmAmBm的综合满意度为多少？(3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和0hAmBm0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。0hh乙(4) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；h乙h乙AmBm3 5ABmmh乙h乙xyO11.www.zgxzw.com 中国校长网中国校长网资源频道 http:/zy.zgxzw.com (5) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大3 5ABmmAmBm的综合满意度为多少？(6) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和0hAmBm0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。0hh乙【解析】(1)=,=,125320ABABABABmmmmhhmmmm乙甲(3,12,5,20)ABmm当时，3 5ABmm23 5=,35(20)(5)125B BBBBBBmmmhmmmm甲23 5=,320(5)(20)35B BBBBBBmmmhmmmm乙显然 =hh乙甲(2)当时，3 5ABmm2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBB