2005 -2006 学年第一学期学年第一学期一填空题（每小题 3 分，共 15 分）10 13 1 21 221 11 0 1 5 2 02. 若阶方阵 A 的秩 , 则 0 nrnA 3设，是 5 阶方阵，且3, 则基础解系中含 2 个解向量0rrxAA)(AR4若阶矩阵的特征值为，则 12 AA5设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则 0 21,A21, pprr,21pprr 二选择题（每小题 3 分，共 15 分）1若为 3 阶方阵，且，则( C )A2A2A-4 4 -16 162设为阶方阵，满足等式，则必有（ ） BA,nOAB 或 或 OA OB 0A0BOBA0 BA3设元线性方程组，且，则该方程组( )nbxArrnbARAR),()(r有无穷多解 有唯一解 无解 不确定 4设 P 为正交矩阵，则 P 的列向量（ A ）A组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向 量5若二次型为正定, 则对应系数矩阵A的特征值( )( )fxxAx都大于 0； 都大于等于 0； 可能正也可能负 都小于 0三 （8 分）计算行列式的值2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2D 解212343142 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 2 1 11 2 1 10 1 0 05551 1 2 11 1 2 10 0 1 0 1 1 1 21 1 1 20 0 0 1rr Drrrrrr rr 四 （8 分）设，求 100210321 A1A解： 100 010 001 100210321 ) (EA 100 010 021 100210101 221rr（或用伴随矩阵）13231 0 0 12 1 0 1 0 01220 0 1 001rr rruuuuuuuu r 1002101211A五 （8 分）求齐次线性方程组的基础解系及通解 03203 0 432143214321xxxxxxxxxxxx解： 321131111111A 210042001111 000021001111通解方程组，基础解系，通解为， （ 02043421 xxxxx00111r12012r2211rrkk为任意常数）21,kk六(8 分)已知向量，求向量组的秩及一个极大线性无 32111r 11112r 53313r关组，并把其余向量用极大线性无关组表示解： 513312311111,321rrrA220110220111 000000110111 000000110201极大无关组，且21,rr2132rrr七 （10 分）讨论取何值时，非齐次线性方程组 2 321321321)1 ()1 (0)1 ( xxxxxxxxx(1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无穷多解解：法 1 )3(1111111112 A（） 当且时，有，方程组有惟一解；030A（）当时，3 930 112121211 A 600033300211，所以无解；3)(2)(ARAR（）当时， ，方程组有无穷多解0 000000000111 A1)()(ARAR法 2 220001111111110111 A 2)2(000111 ) 1()3(0000111八 （8 分）用配方法将二次型化为标准形，并求可312 32 22 1321422),(xxxxxxxxf逆的线性变换 （或上届题？）解：，2 32 22 3312 132162)44(),(xxxxxxxxxf2 32 22 3162)2(xxxx令，即，所以， 33223112xyxyxxy33223112yxyxyyx 321321100010201yyyxxx变换矩阵 标准形 , 100010201 C. 01C2 32 22 162yyyf九 （10 分）求矩阵的特征值与最大特征值所对应的特征向量 400032020 A解：，特征值) 1()4(2EA. 1, 4321当时，解 得，的对应于4210)4(rrxEA 0211r 1002rA的全体特征向量为， ） 4212221rrkk0(2 22 1 kk十 （每小题 5 分，共 10 分）1 设向量组线性无关，讨论向量组 的线性相关性321,rrr112123, rrrrrr解：令 即112123123()()0,kkkrrrrrrr123123233()()0kkkkkkrrrr因为线性无关，所以有，321,rrr1232230 0 0kkk kk k 由于方程组只有零解，故线性无关。112123, rrrrrr 设为满足等式的矩阵，证明 A 可逆，并求AOEAA2321A解：OEAA2321(3 )2(3 )2A AEEAAEE 所以 A 可逆，且11(3)2AEA2008 -2009 学年第一学期学年第一学期 A 卷卷一、填空题（共 75 分每空 3 分）1设，则 - 6 ， ， 3 1 10 2 10 0 1 A A 11/3 1/6- 1/6 - 0 1/2 2/ 10 0 1 1A36 .2A得分2, . 2 10 23 22102111 0 0010101 12 58 54 13 224 32 13行列式= 18 ，行列式_12_. 6 3 3 2 1 2 1 1 1 2 2 02- 1 00 0 24 两个向量的内积为： 3 ， 夹角为：;) 1 , 2 , 1 (),0 , 1 , 1 (216/把用施密特正交化方法得:21， 0 , 2/ 1 , 2/ 1 211）（，5若向量，则用组合的表达式是)3 , 2(),2 , 1 (),7 , 4(2121,.2126向量组的线性相关性为：)3 , 1 , 3(),0 , 1 , 0(),1 , 1- , 1 (),0 , 0 , 2(4321线性相关，它的秩是 3 .7已知向量组 1=(1,0,0),2=(2,5,2),3=(1,5,k)线性相关,则 k =_2_.8若 3 阶方阵 A 的三个根分别是 1，2，3，则 方阵 A 的行列式6A9 设矩阵 A=，则矩阵 A 的秩为 2 ，线性方程组 0 00000 10100 0101的基础解系的向量个数为 3 . OXA10给定线性方程组, 2 32132132111xxxxxxxxx）（则：当 1 且 0 时，方程组有唯一解；当 = 1 时方程组有无穷解； 当 = 0 时方程组无解.11矩阵的特征值为： 2 、1，对应于特征值的 1 0 11 2 10 0 2 A1特征向量为：.0,110 kk12 设设方阵满足,则_.AAEAAA113二次型的矩阵的系数矩阵为： 2 3322 2212 13212222),(xxxxxxxxxxf，该二次型为 正 定二次型. 2 1 01 2 10 1 1A二、计算题（共 5 分）设矩阵 A=, 求矩阵 X, 使 1 11 2EAAX2解 由 AX = A+2E 得 2)2(1EAAX3 5 2- 1 02- 3 0 13 1 1 11 4 1 22 EAA即 5 2-2- 3 X三、计算题（共 6 分）已知向量组.1222,1343,1121,11114321 求向量组的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示4321，出来.姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密封