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本章小结 知识网络知识网络重点突破重点突破 一、功的计算 1.利用公式 W=Fscos 计算 【例 1】 如图 5-1 所示,恒力 F 绕滑轮拉细绳使物体 A 在水平桌面上产生位移 s,恒力方 向与水平方向成 角,求此恒力所做的功.图 5-1 思路分析:思路分析:力 F 为恒力,可考虑由功的定义式求解,即力与力的方向上的位移的乘积,也 可用等效的方法,因为 F 的拉动使物体前进,物体相当于受水平拉力 F 和与水平方向成 角的斜向上的拉力,物体发生的位移为 s.解法一:如图 5-2 所示,选绳上的一点 P 为研究对象.当物体前进位移 s 时,点 P 从 A 移到了 A,AA为点 P 的位移,在力的方向上的位移则为 AC图 5-2作 BDAC,由于 CD=AB=s,AB=sAD=ABcos=scos故 AC=s(1+cos)故 W=FAC=Fs(1+cos).解法二:力 F 做的总功,等效成水平力 F 及与水平成 角的力 F 做功之和,故有: W=Fs+Fscos=Fs(1+cos). 答案:答案:Fs(1+cos) 类题演练类题演练 1 如图 5-3 所示,人通过定滑轮拖住不计重的绳子,将重为 G 的物体匀速上拉,当人移动 d m 时,人拉的绳子由竖直方向变为与水平方向成 角.求这个过程中拉力所做的功.图 5-3 思路分析:思路分析:虽然拉力的大小始终等于 G,但由于人拉绳子的方向不断改变,因而此题属于 变力做功问题.但由于绳子质量不计,人所做的功等于绳子拉力对重物 G 所做的功. 解析:解析:人所做的功为 W=Gs由于 s=dcosd cossin1以 W=. cossin1Gd答案:答案: cossin1Gd2.利用公式 W=Pt 计算 【例 2】 一辆汽车在平直的公路上以速度 v0开始加速行驶,经过一段时间 t,前进了距离 s,此时恰好达到其最大速度 vmax.设此过程中汽车发动机始终以额定功率 P 工作,汽车所 受的阻力恒为 F,则在这段时间里,发动机所做的功为( ) A.Fvmaxt B.PtC.+Fs- D.Ft2 max21mv2 021mv2max0vv 解析:解析:汽车在恒定功率作用下是做变牵引力的加速运动,所以发动机做功为变力做功.根据 P=可求出 W=PttW而 P=Fv=Fvmax,所以 W=Fvmaxt根据动能定理 W-Fs=所以 W=+Fs-.2 max21mv2 021mv答案:答案:ABC 二、功率的计算 【例 3】 电动机通过一绳吊起一质量为 8 kg 的物体,绳的拉力不能超过 120 N,电动机的 功率不能超过 1 200 W,要将此物体由静止起用最快的方式吊高 90 m(已知此物体在被吊 高接近 90 m 时已开始以最大速度匀速上升)所需时间为多少?思路分析:思路分析:由 P=Fv 知 v=.因牵引力最大值为 120 N,所以 vmin= m/s=10 FP 1201200maxFPm/s,故不可能开始就以额定功率上升,而题目要求以最快方式提升 90 m,那只能开始以 最大拉力作用下匀加速上升,达到额定功率后再以额定功率上升. 解析:解析:因为牵引力 F 最大值 Fmax=120 N,所以上升过程要以额定功率上升,最小速度 vmin=m/s=10 m/s,故不可能从静止开始以额定功率上升.要使重物上升 90 m 所用1201200maxFP时间最短,则必须开始以最大拉力匀加速上升,加速度 a= m/s2=5 880120max mmgFm/s2.设匀加速上升 t1到 v1时达到额定功率则据 P=Fv 得:1 200=120v1,所以 v1=10 m/s而 v1=a1t1,所以 t1=2 s匀加速上升的高度 h1=t1=10 m21v设最后以额定功率上升 t2秒由动能定理得Pt2-mg(h-h1)= 2 12 max21 21mvvm而最终速度vmax=m/s=15 m/s 8012001mgP FP将各数据代入得 t2=5.75 s所以共需时间 t=t1+t2=7.75 s. 答案:答案:7.75 s 三、作用力与反作用力的功 【例 4】下列关于作用力、反作用力的做功问题中,说法正确的是( ) A.作用力做功,反作用力也必定做功 B.作用力做正功,反作用力一定做负功 C.作用力做功数值一定等于反作用力做功数值 D.单纯根据作用力的做功情况不能判断反作用力的做功情况 解析:解析:要解答这个问题,可设想一个具体例子,如图 5-4 所示,A、B 两磁铁同名磁极相对, 分别放在两辆小车上,同时释放后,在斥力作用下两车分开,作用力、反作用力都做正功; 两车质量相等时,位移相等,做功数值也相等;而两车质量不相等时,位移不相等,做功 数值当然也不相等;如按住 A 不动,只释放 B,则 A 对 B 的作用力做正功,B 对 A 的反 作用力不做功.因此,单纯根据作用力做功情况不能确定反作用力做功的数值、正负.D 正确.图 5-4答案:答案:D 类题演练类题演练 2 一个小孩站在船头,按图 5-5 两种情况用同样大小的力拉绳,水的阻力不计,经过相同的 时间 t(船未碰撞) ,小孩所做的功 W1、W2及在时间 t 内小孩拉绳的功率 P1、P2的关系为 ( )图 5-5 A.W1W2,P1=P2 B.W1W2,P1P2 C.W1=W2,P1=P2 D.W1W2,P1=P2 解析:解析:因为不计水的阻力,只有拉力作用,由牛顿运动定律和运动学公式可知,小孩所在 的船前后两次的位移是相同的,因此第一次小孩做的功为 W1=Fx1;第二次小孩做的功为 W2=F(x1+x2),所以正确选项为 B. 答案:答案:B 四、动能定理的综合应用 【例 5】 质量为 m=3 000 t 的火车,在恒定的额定功率下由静止出发,运动中受到一个恒 定不变的阻力作用,经过 103 s,行程 12 km 后,达到最大速度 72 km/h.求列车的额定功率 和它受到的阻力.思路分析:思路分析:火车在达到最大速度之前,牵引力 F=将是一个与速度有关的量.阻力为 Ff,vP则火车的加速度 a=,即加速度随着速度的增大而减小,火mvvFPmFvPmFFfff 车做加速度减小的变加速运动.由于 a 是变量,所以此类问题采用牛顿运动定律和运动学公 式将是无能为力的. 解析:解析:在从速度为零达到速度最大这一过程中:机车牵引力做功为 Pt,阻力做功为-Ffs,动能增量为,则由动能定理可得 Pt-Ffs=.2 max21mv2 max21mv在达到最大速度这一瞬间,是加速度为零的时刻所以 F=Ff,F=即 P=Ffvmax.maxvPFfvmaxt-Ffs=2 max21mv列车受到的阻力 Ff=7.5104 N)(2max2 max stvmv 列车的额定功率 P=Ffvmax=1.5106 W. 答案:答案:1.5106 W 7.5104 N 五、功能关系【例 6】 质量为 m 的物体,在距地面 h 高处以g 的加速度由静止竖直下落到地面,下面31的说法中正确的是( )A.物体的重力势能减少mgh31B.物体的机械能减少mgh32C.物体的动能增加mgh31D.物体的重力做功 mgh 解析:解析:物体在 h 高处时,重力势能为 mgh,落到地面时,重力势能为零,这一过程中,重力做功为 mgh,重力势能减小 mgh,A 选项错误,D 选项正确.物体的加速度为g,可见31合外力为mg,合外力做的功为mgh,根据动能定理,物体动能增加mgh,C 选项正31 31 31确.物体重力势能减少 mgh,动能增加mgh,机械能减少mgh,B 选项正确.31 32答案:答案:BCD 类题演练类题演练 3 (经典回放)在离地面高为 h 处竖直上抛一质量为 m 的物块,抛出时的速度为 v0,当它落 到地面时速度为 v,用 g 表示重力加速度,则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于 ( )A.mgh-mv2-212 021mvB.-mgh2 02 21 21mvmv C.mgh+mv221 212 0mvD.mgh+mv2-212 021mv解析:解析:物块克服空气阻力所做的功等于物块机械能的减少量,即Wf=mgh+mv2,C 正确.21 212 0mv答案:答案:C 类题演练类题演练 4 (2004 上海高考)滑块以速率 v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动,当它回到出发点时速率 变为 v2,且 v2v1,若滑块向上运动的位移中点为 A,取斜面底端重力势能为零,则( ) A.上升时机械能减小,下降时机械能增大 B.上升时机械能减小,下降时机械能也减小 C.上升过程中动能和势能相等的位置在 A 点上方 D.上升过程中动能和势能相等的位置在 A 点下方 解析:解析:如图所示,无论上升过程还是下降过程,摩擦力皆做负功,机械能均减少,A 错, B 对.设 A 点的高度为 h,斜面的倾角为 ,物体与斜面间的动摩擦因数为 ,整个过程由动 能定理得:2mgh+2mgcos2 121 sinmvh解得:h=)cot1 (22 1 mgmv设滑块在 B 点时动能与势能相等,高度为 h,则有:mgh=mv2-mgh-mgcos21 sinh解得:h=cot242 1 mgmgmv 由以上结果知,hh,故 C 对,D 错. 答案:答案:BC 六、系统机械能守恒与机械能的变化 【例 7】某人在距离地面 2.6 m 的高处,将质量为 0.2 kg 的小球以 v0=12 m/s 的速度斜向上 抛出,小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为 30,g 取 10 m/s2,求: (1)人抛球时对球做多少功? (2)若不计空气阻力,小球落地时的速度大小是多少? (3)若小球落地时的速度大小为 v1=13 m/s,小球在空中运动过程中克服阻力做了多少功? 思路分析:思路分析:人抛球的力为变力,飞行中阻力也为变力,故此题(1) 、 (3)两问应该用动能 定理去求力所做的功,第(2)问中不计阻力,只有重力做功,则既可用动能定理,又可以 用机械能守恒定律求解. 解析:解析:(1)在抛出小球的过程中,只有人对小球做功,初态为静止,末态小球离手时速度 为 v0根据动能定理:W=Ek=14.4 J.2 021mv(2)选地面为零势能面在高处时的机械能:E1=mgh+2 021mv落地时的机械能:E2=mv221在空中运动的过程中,机械能守恒,即 E1=E2.所以:mgh+=mv22 021mv21代入数据可求得:v=14 m/s. (3)空气阻力对小球做的功等于小球机械能的变化:W=mv2=-2.7 J.21 212 1v答案:答案:(1)14.4 J (2)14 m/s (3)2.7 J 类题演练类题演练 5 如图 5-6 所示,O 点离地面高度为 H,以 O 点为圆心,制作一四分之一光滑圆弧轨道,小 球从与 O 点等高的圆弧最高点滚下水平抛出,试求:图 5-6 (1)小球落地点到 O 点的水平距离. (2)要使这一距离最大,只应满足什么条件?最大距离为多少? 解析:解析:(1)小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用,但轨道弹力不做功,即只有 重力做功,机械能守恒,可求得小球平抛的初速度 v0.根据机械能守恒定律得 mgR=2 021mv设水平距离为 s,根据平抛运动规律可得s=.)(2)(20RHRgRHv(2)因 H 为定值,则当 R=H-R,即 R=时,s 最大,最大水平距离为2Hs
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