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高高 中中 数数 学学 基本知识基本知识基本思想基本思想基本方法基本方法一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑1.必须弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?必须弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值? 还是曲线上的点?还是曲线上的点? ; 2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或 韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的 思想方法解决;思想方法解决; 3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断一个语句是否为命题,关键要看能否判断 ,陈述句、反诘问句都是命题,而,陈述句、反诘问句都是命题,而 祁使句、疑问句、感叹句都不是命题;祁使句、疑问句、感叹句都不是命题; 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其 是等价命题是等价命题 ,逆命题,逆命题 与其与其 是等价命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时, 可考虑判断其等价命题的真假;可考虑判断其等价命题的真假; 5.判断命题充要条件的三种方法:(判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;()定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,)利用集合间的包含关系判断,若若,则,则 A 是是 B 的的 条件或条件或 B 是是 A 的的 条件;若条件;若 A=B,则,则 A 是是 BBA的的 条件;(条件;(3)等价法:即利用等价关系)等价法:即利用等价关系判断,对于条件判断,对于条件“ABBA“或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法; 6.(1)含)含 n 个元素的集合的子集个数为个元素的集合的子集个数为 ,真子集(或非空子集)个数为真子集(或非空子集)个数为 ;(2) ;BBAABABAUI(3);)(,)(BCACBACBCACBACIIIIIIUIIU二、函数二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 1.复合函数的有关问题复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知)复合函数定义域求法:若已知 f(x)的定义域为的定义域为a,b,其复合函数其复合函数 fg(x)的定的定 义域由不等式义域由不等式 解出即可;若已知解出即可;若已知 fg(x)的定义域为的定义域为a,b,求求 f(x)的定义域,的定义域, 相当于相当于 xa,b时,求时,求 g(x)的值域(即的值域(即 f(x)的定义域)的定义域) ; (2)复合函数的单调性由)复合函数的单调性由“同同 异异 ”判定;判定; 2.函数的奇偶性函数的奇偶性(1)若)若 f(x)是是 ,那么,那么 f(x)=f(x)=;)( xf(2)定义域含)定义域含 0 的奇函数必过的奇函数必过 (可用于求参数)(可用于求参数) ;(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)f(-x)= 或或 (f(x)()(xfxf0);(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有)奇函数在对称的单调区间内有 的单调性;偶函数在对称的单调区间内有的单调性;偶函数在对称的单调区间内有 的单调性;的单调性; 3.函数图像(或方程曲线的对称性)函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点 仍在图像上;仍在图像上; (2)证明图像)证明图像 C1与与 C2的对称性,即证明的对称性,即证明 C1上任意点关于对称中心(对称轴)的上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点仍在对称点仍在 C2上,反之亦然;上,反之亦然; (3)曲线)曲线 C1:f(x,y)=0,关于关于 y=x+a(y=x+a)的对称曲线的对称曲线 C2的方程为的方程为 f(ya,x+a)=0 (或或 f(y+a,x+a)=0); (4)曲线)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(关于点(a,b)的对称曲线)的对称曲线 C2方程为:方程为:f(2ax,2by)=0; (5)若函数)若函数 y=f(x)对对 xR 时,时,f(a+x)=f(ax)恒成立,则恒成立,则 y=f(x)图像关于直线图像关于直线 对称;对称; (6)函数)函数 y=f(xa)与与 y=f(bx)的图像关于直线的图像关于直线 对称;对称; 4.函数的周期性函数的周期性 (1)y=f(x)对对 xR 时,时,f(x +a)=f(xa) 或或 f(x2a )=f(x) (a0)恒成立恒成立,则则 y=f(x)是周期是周期 为为 的周期函数;的周期函数; (2)若)若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则对称,则 f(x)是周期为是周期为 2a的的 周期函数;周期函数; (3)若)若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则对称,则 f(x)是周期为是周期为 4a的周的周 期函数;期函数; (4)若)若 y=f(x)关于点关于点(a,0),(b,0)对称,则对称,则 f(x)是周期为是周期为 2|a-b|的周期函数;的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x=a, x=b(ab)对称,则函数对称,则函数 y=f(x)是周期为是周期为 2|a-b|的周的周 期函数;期函数;(6)y=f(x)对对 xR 时,时,f(x+a)=f(x)(或或 f(x+a)= ,则,则 y=f(x)是周期为是周期为 2的的 )(1 xfa周期函数;周期函数; 5.方程方程 k=f(x)有解有解kD(D 为为 f(x)的值域的值域);6.af(x)恒成立恒成立 ; af(x) 恒成立恒成立 ; af(x)有解有解 ; af(x)有解有解 ;7.(1) (a0,a1,b0,nR+); n aabbnloglog(2) l og a N=( a0,a1,b0,b1);aNbb loglog(3) l og a b 的符号由口诀的符号由口诀“同正异负同正异负”记忆记忆;(a, b 同在(同在(0,1)或()或(1,)上)上 l og a b 的符号为正)的符号为正)(4) a log a N= N ( a0,a1,N0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时,抓住两点:(判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A 中元素必须都有象且唯一;(中元素必须都有象且唯一;(2)B 中元素不一定都有原象,并且中元素不一定都有原象,并且 A 中不同元素在中不同元素在 B 中可以有相同的象;中可以有相同的象; 10.对于反函数,应掌握以下一些结论:(对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的)定义域上的 必有反函数;必有反函数; (2)奇函数的反函数是)奇函数的反函数是 ;(;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函 数数;(4)周期函数不存在反函数;()周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有)互为反函数的两个函数具有 的单调的单调 性;性;(5) y=f(x)与与 y=f-1(x)互为反函数,设互为反函数,设 f(x)的定义域为的定义域为 A,值域为,值域为 B,则有,则有 ff-1(x)=x(x ),f-1f(x)=x(x ). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题 用用“两看法两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 12.恒成立问题的处理方法:(恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;()分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分)转化为一元二次方程的根的分 布列不等式布列不等式(组组)求解;求解; 13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:;)0f(b)0f(a)(0f(b)0f(a)b)u(a0( 0)()()( 或)或xhuxguf14.掌握函数掌握函数的图象和性质;的图象和性质;) 0();0( c xcxyacb cxacba cxbaxy函函 数数cxacbacxbaxy(b ac0,a0,c0))0(axaxy图图 象象定定 义义 域域),(),(cc), 0()0 ,(值值 域域),(),(aa),22,(aa奇奇 偶性偶性非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数Xooyx X=-cY=ay单单调调性性当当 b-ac0 时时:分别在分别在上单调递减;上单调递减;),(),(cc当当 b-ac0,b0)时要符合时要符合“ ab2” ;注意均值不等式的一些变形,如;注意均值不等式的一些变形,如;2222 )2( ;)2(2baabbaba七、直线和圆的方程七、直线和圆的方程 1.设三角形的三个顶点是设三角形的三个顶点是 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3),则则ABC 的重心的重心 G 为(为( , ) ; 2.直线直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是垂直的充要条件是 ; 3.两条平行线两条平行线 Ax+By+C1=0 与与 Ax+By+C2=0 的距离是的距离是 ; 4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件表示圆的充要条件 :A=C0, B=0 且且 ; 5.过圆过圆 x2+y2=r2上的点上的点 M(x0,y0)的切线方程为:的切线方程为: ;6.以以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是:(求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式,写出目)根据实际问题的约束条件列出不等式,写出目 标函数;(标函数;(2)作出可行域;()作出可行域;(3)确定目标函数的最优
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