矩阵相似与特征多项式相同的等价条件何维明 赵人可 (长沙交通学院信息与计算科学系,长沙, 410076)摘 要 本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件及其相关结果,并指出湖南省某次线性代数自考题中一道命题的错误.关键词 相似矩阵 对角阵 特征多项式THE EQUIVALENT COND ITI ONS FORMATRIX SI M I LARITY AND THEIR CHARACTERISTIC POLYNOM IALS EQUAL ITYHeW eim ing Zhao Renke(Deartment of Informatian and Camputing Science, Changsha communications Institute, Changsha, 410076)Abstract In this paper we discuss the equivaient conditions for matrix si m ilarity and their characteristicpolynom ials equality and corresponding results. A nd we point out m istake of a proposition of one linearalgebra self2taught exam ination in Hunan.Keywords si m ilar matrices diagonalmatrix characteristic polynom ial众所周知,两矩阵相似,则它们的特征多项式相同,反之则不然,即两矩阵的特征多项式相同,两矩阵不一定相似.然而,当满足一定条件时,矩阵相似与特征多项式相同是互为等价的.本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件,并指出湖南省某次线性代数自考试题中 一道命题的错误. 定理1 若n阶方阵A与B都可对化,则A与B相似的充分必要条件是它们的特征多项 式相同.证明 条件的必要性可参见任一种线性代数教材,只证充分性.因A,B都可对角化且它们的特征多项式相同,因而它们有完全相同的特征值,故A与B可相似同一对角阵,由矩阵相 似的传递性知,A与B相似. 定理2 若n阶方阵A可对角化,则它的n个特征值均为 0的充分必要条件是A=0E证明 充分性显然,下证必要性.第22卷第2期 2002年6月数学理论与应用MATHEMAT ICAL THEORY AND APPL ICAT I ONSVol . 22 No. 2June 2002郭忠教授推荐收稿日期: 2001年5月12日因A可对角化,且它的别n个特征值均为 0,故存在n阶可逆阵P,使P- 1A P=0E于是A=P(0E)P- 1=0E定理3 设A为分块对角阵A=A1A2AS其中 Ai为ni阶方阵(i= 1, 2,S),6Si= 1n1=n,若A的每一子块Ai(i= 1, 2,S, )都可对角化,则A相似于一对角阵.证明 因Ai可对角化,故存在ni阶可逆阵Pi,使P- 1 iAiPi=Ai (i= 1, 2,S)其中 Ai是以Ai的特征值为对角元的对角阵.命 P=P1P2PS, 则P可逆,且P- 1=P- 1 1P- 1 2P- 1 S 于是P- 1A P=P- 1 1A1P1P- 1 2A2P2P- 1 SAsPs 推论 设A为分别块对角阵,其记号见定理3,若A的每一子块Ai可对角化,且它的ni个特征值均为 i(i= 1, 2,S),则A本身就是一对角阵.证明 据定理3及定理2知,Ai=iEni(i= 1, 2,S),因此,A本身就是一对角阵. 以下我们利用矩阵相似与特征多项式相同的等价条件指出湖南省一九九九年六月高等教育自学考试线性代数试题中一道命题的错误,原题是:矩阵A=2000a2023相似于矩阵B=100022000, 则a=,据题意,因A相似于B,有A=B,故2(3a-4) = 2,从而a= 5?3,当然,上述解法没有问题,错就错在命题本身.事实上,在题设条件下A与B根本不可能相似.因A可理解为实对称阵,故可对角化,B已是对角阵,若A与B相似,据定理1有E-A=E-B得 (-2) 2-(a+ 3)+ 3a-4 =(-2) (-1)2比较得 a+ 3 = 23a-4 = 1,于是a= -1,又a= 5?3,矛盾,故A不能与B相似.从另一角度考虑,因A为分块对角阵,若A与B相似,则A与B应有相同的特征值,已知96 第2期 矩阵相似与特征多项式相同的等价条件B的特征值为2, 1, 1,A的两个子块A1= (2),A2=a223均可对角化,A1的特征值为单根2,故A2的特征值应为两重根1,据定理3的推论,A本身就是对角阵,这显然不成立,故A不能 与B相似. 此命题的错误在于:B已是对角阵,A可对角化,则除排列次序外,B是由A的特征值唯一确定的,而A的特征值是2, (a+ 3(a-3)2+ 16)?2,显然B的特征值不能取2, 1, 1,故在命题时,应注意到上述关系,如取a= 3,可得B=100020005,取这样的B作为A的相似对角阵,就不会出错.此外,若将命题改为双参数:矩阵A=2000a2023相似于矩阵 B=10002000b. 则a=,b=,易求得,此时,a= 3,b= 5,也不会出现命题的错误. 值得注意的是:A可对角化是一重要条件,若将原题的A改为A1=2000a-2023或 A2=2000a202b 由 E-A1=E-B 可得a= -1,由E-A2=E-B 可得a= 1 -2i,b= 1 + 2i,i=-1为虚单位. 此时,A1,A2与B的特征多项式都相同,但经验证,A1,A2都不能与对角阵相似,自然不可 能与B相似.07数学理论与应用 第22卷