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南京工业大学线 性 代 数试题(A)卷(闭)2008-2009 学年第 二 学期使用班级 计软 08013班级学号姓名题号一二三四五六七八总分得分(符号说明:E表示单位矩阵,R表示矩阵的秩,表示行列式,T表示矩阵的转置,trace(A)表示矩阵 A 的足迹。 )一、填空题(每题 3 分,共 15 分)1已知2111320=zyx,则=111542653zyx。2u为 n 维非零单位列向量,则矩阵Tuu的 n 个特征值分别为。3设矩阵210 120 001A =,矩阵B满足*2ABABAE=+,其中*A为A的伴随矩阵,则|B=。4方程组121232313xxaxxaxxa= = =有解的充要条件为。5已知022=EAA,则1()AE=。二、选择题(每题 3 分,共 15 分)1设CBA、是三个同阶方阵、E为同阶单位矩阵,且EABC=。下列等式:EACB=;EBAC=;EBCA=;ECAB=;ECBA=。其中正确的个数有()(A) 2 个(B)1 个(C )3 个(D) 4 个2 设n,21线性无关,211+=,111322,+=+=+=nnnnn,则关于向量组n,21的论述正确的是()(A)一定线性无关 (B)一定线性相关 (C)相关与否与 n 有关(D)以上均不正确3.设三阶方矩A的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵23BAAE=+,则如下正确的是()(A)矩阵不可逆(B) 矩阵三个特征值为 -1,3,17(C)矩阵B不可以对角化(D)( )18trace B=4. 设nm阶矩阵( )R Ar=,则如下结论正确的是().(A)()()TTR A AR A(B)()()TTR A AR A=(C)()( )TR A AR A(D)()( )TR A AR A5. 如21321,都 是 四 维 列 向 量 , 且 4 阶 行 列 式m=1321,n=3221,则 4 阶行列式)(21123+等于()(A)nm+(B)nm(C))(nm+(D)mn三、(10分)计算n阶行列式mxxxxmxxxxmxnnn212121四、 (12 分) 设四阶矩阵=7600054000320001A, 方阵B满足矩阵方程BEAAB=+,试给出1)(+EB。五、 (12 分)求向量组1234(1,1,0,1),(2,0,1,3),(0,2, 1, 1),(0,1, 1, 1),= = 5(6,1,3,9)=的秩和它的一个极大线性无关组,并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。六、 (13分)当,a b为何值时,线性非齐次方程组123412342341234023441(3)2321xxxxxxxxxaxxbxxxax+= +=+= += 无解、有唯一解、或有无穷多组解?在有无穷多解时,求出其通解.七、 (16分)已知二次型222 12312312( ,)22f x x xxxxx x=+,试回答下列问题1) 写出此二次型的矩阵A;2) 利用正交变换QYX=该二次型化为标准型,并给出所使用的正交变换和标准型;3) 判断该二次型是何种二次型。八、(7分)设矩阵,A B均为实正交矩阵且1,A= 1B=,试证明:0AB+=.南京工业大学线 性 代 数试题(A)卷试 题 标 准 答 案2008-2009 学年第一学期使用班级计软 0801-3一、填空题(每题 3 分,共 15 分)(1)2 (2)1,0(n-1 重) (3)-1/9 (4)1230aaa+=(5)1 2A二、选择题(每题 3 分,共 15 分)1A2. C3. B4. B5. D三、 (10分)第n,3 , 2 列加到第1列:22 1221 1()1nn nnxx xmxDxxxmxxm=+ 4 分=2121 0()00nn nxx mxxxxmm+ 8 分=11 12( 1)()nn nmxxxm+10 分四、 (12 分)解:由方阵B满足矩阵方程BEAAB=+,可得EEBAAB2=+即EEBEBA2)()(=+6 分EEBEA2)(=+由=7600054000320001A故=+=+4300032000210001)(21)(1EAEB12 分五(12 分) 、解:以521,为列,构成矩阵A并进行初等行变换。123451200612006 1021101102(,)0111300011 1311900000TTTTTA = 6 分秩为 3; 8 分 ,极大线性无关组为134, ; 10 分21351342,62=。 12 分六、 (13 分)对方程组的增广矩阵进行初等行变换11110 23441(| )0132 3211A bab a = 213123rrrr11110 01221 0132 01231ab a 3242rrrr+11110 01221 00101 00010Bab a = + 5 分显然可见: 当1,1ab= 时方程组无解,当1a时方程组有唯一解,当1,1ab= 时方程组有无穷多组解.8 分当1,1ab= 时继续将矩阵B化为行最简形得B=11110 01221 00000 00000 12rr10111 01221 00000 00000 与原方程组等价的方程组为1342341122xxxxxx= + = 令340 0x x = ,得原方程组的一个特解为1 1 0 0 = 。 11 分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为13423422xxxxxx=+ =令3410,01x x = 得齐次方程组的一个基础解系为1211 22,.10 01 = 故原方程组有无穷多组解时的通解为1 122Xkk=+,12,k k为任意常数.13 分七、 (16 分)解:1)此二次型的矩阵110110002A =4 分2)矩阵的特征多项式为2110( ) |110(2) 002AfAE = 故矩阵 A 的三个特征值为 0,2(二重)当2=时 , 求 解 方 程 组()0,AE X=得 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量121(1,1,0) ,(0,0,1)2TT=.当0=时,求解方程组()0,AE X=得特征向量31( 1,1,0)2T=.令123(,)Q =, 作 变 换XQY=即 为 正 交 变 换 , 可 将 二 次 型 化 为 标 准 型222 123220yyy+9 分3)由于矩阵 A 的特征值全部非负,故二次型为半正定的.3 分八、 (7 分)证明:因为 A、B 为正交矩阵,故()()()TTTTABA EA BA BABABABA AB B+=+=+=+=+4 分又1,A= 1B=,代入上式可得ABAB+= +,所以0.AB+=7 分
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