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2.7 线性谐振子(理想模型) 2.7 线性谐振子(理想模型) 重点:重点:线性谐振子问题的本征解 难点:难点:结果讨论及其理解 一、参考模型 一、参考模型 无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。 任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。如双原子分子的振动,晶体结构中原子和离子的振动,核振动等等都使用了谐振子模型,辐射场也可以看作线性谐振子的集合。 以双原子分子为例: 双原子分子中两原子间的势能U是两原子间距离 x 的函数,其形状如图所示。在ax =处势能有一极小值,这是一个稳定平衡点,在这点附近,)x(U可以展为)ax( 的幂级数,且注意到 0xUax=则:.)ax)(a ( U!21)a (U)x(U2+= 若忽略高次项,且令)a ( Uk =, 则有:2)ax(k21)a (U)x(U+= 再令0)a (U=;ax x=,则有2kx21) x(U=,可以写成: 2kx21)x(U= (1) 其中2k=。 凡是在势能为2kx21)x(U=的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。 二、线性谐振子的本征问题 二、线性谐振子的本征问题 1.体系的哈密顿及本征方程 22 222 x21 dxd 2H+=h)x(E)x(x21 dxd 222 222 =+h2.本征方程的求解 方程两边同乘以h2得: =+hhhE2xdxd2 22令h=;x=;=hE2(2) 得到:0)()()(dd2 22 =+(3) 由于方程0)()()(dd2 22 =+不能直接求解,可先求的渐进解,此时由于与2 相比可以忽略,则方程退化为: 0dd2 22 =渐近方程 (4) 其渐进解为:221 e)( 由波函数的有限性(满足0)( )知,只能取2/2e)( 的解,于是可以令方程0)()()(dd2 22 =+的一般解为: )(He)(2/2=(5) 其中待求函数)(H 应满足条件满足条件: a. 在有限时)(H 应为有限; b. 当时,)(H 也必须保证)(有限,即0)(。 因为只有这样才能满足波函数的标准条件。 将)(He)(2/2=代入0)()()(dd2 22 =+中,有: 0H) 1(ddH2dHd22 =+厄密方程 (6) 为)(H 所满足的方程。 利用级数方法求解0H) 1(ddH2dHd22 =+,这个级数必须含有有限项, 才能在时使)(有限, 而级数含有有限项的条件是为奇数(见教材 P248 附录 II) ,即: 1n2 += ,.2 , 1 , 0n = (7) 而=hE2,则一维线性谐振子的能级为: +=h)21n(En ,.2 , 1 , 0n = (8) 其中0H) 1(ddH2dHd22 =+的解为厄密多项式,即: 22edde) 1()(Hnn n n = (9) 其中 n 表示)(Hn的最高次幂,并且)(Hn的最高次数项的系数为n2 。例如:1)(H, 0n0=; ,.2)(H, 1n1=; 24)(H, 2n2 2=; 且)(Hn递推关系为: )(nH2d)(dH1nn=; 0)(nH2)(H2)(H1nn1n=+(证明见梁昆淼编数学物理方法第一版 P539)。 于是得体系能量本征函数: )(HeN)(n2/ nn2=或)x(HeN)x(n2/x nn22=(10) nN为归一化常数,由1dx2=+可得:!n2Nnn=(见附录 II) 。 三、结果讨论 三、结果讨论 1.能级 +=h)21n(En ,.2 , 1 , 0n = (1)能量是量子化的,且相邻能级的间距 =+hn1nnEEE 即能级是等间距的。 这与 Planck 假设一致,能级均匀分布能级均匀分布,式中的=k是谐振子的经典固有圆频率,不是 De Broglie 波的圆频率。 (2)存在零点能=h21E0(基态能量) 。 在0T =时也有振动, 这是旧量子论中没有的, 已被实验所证实 (光被晶体散射) ,这纯属量子效应,是由于微观粒子具有波粒二象性所导致的。 2.波函数)x(n和几率密度2 n : )x(HeN)x(n2/x nn22=,.2 , 1 , 0n= (1)0)x(n,满足束缚态定义,在一定范围内形成驻波。 (2)n(,.2 , 1 , 0n =)有 n 个节点,第n个波函数(1n)有1n 个节点(参阅 P42 图 12) 。 (3)宇称为n) 1(: 因)x(Hn为x的 n 次多项式,当 n 为奇数时,只存在奇幂次;当 n为偶数时,只存在偶幂次。 所以:)x() 1()x(nn n=,即宇称为n) 1(。 (4)2 n有1n +个极大值,有n个零点(与经典分布不同) ,分布关于0y =对称(参阅 P43 图 13) 。 3.与经典振子的比较 (1)以上特点不同于经典振子的性质,是源于微观粒子的波粒二象性。 因量子振子要在一定范围内形成驻波, 故波长、 动量和能量波长、 动量和能量必分立, 2有一系列的极大和零点,故有波动性,不可能静止于原点,固有零点振动,有零点能的存在。而对于经典振子,能量很大,对应于量子振子n很大的态,这时nnE/E和0E都小到可以忽略,能量趋于连续,零点能无显著作用。 例如:g1m =,s/rad1=和振幅cm2x0=的经典振子,此时 J101xm21E72 02 M.C= 而J10E34 n=h 则:010EE27M.Cn可见:J1017的振子的量子数相当于2710n =。 (2)几率比较 考虑经典谐振子的几率分布: 在+d区间找到质点的几率d)(与质点在此区域内逗留的时间dt成比例,即: Tdtd)(= (T 为振动周期) 可得:Tv1)dtdT/(1)(=,即)(与质点的速度v成反比。 而)tsin(a+=,即在点速度:2/122a1adtdv = 则:2/122a1)( (参阅 P43 图 13 的虚线) 可见:经典谐振子的几率分布与量子谐振子的几率分布在前几个态毫 无相似之处,基态情况基本相反,量子数越大,量子振子的几率分布的平均值越趋于经典分布。
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