梁的应力及强度设计梁的应力及强度设计DESIGN OF BEAMS FOR BENDING STRESSESDESIGN OF BEAMS FOR BENDING STRESSES一。 对称弯曲正应力 梁横截面上只有弯矩，而剪力为零，此种弯曲为纯弯曲 梁的横截面上同时有剪力与弯矩，这种弯曲称为横力弯曲 1.纯弯梁横截面上的正应力1）纯弯曲的实验现象及相关假设a.梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短， 靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。 b.横向直线仍为直线，只是横截面间作相对转动，但仍与纵线 正交。 c.在纵向拉长区，梁的宽度略减小，在纵向缩短区，梁的宽度 略增大。根据上述表面变形现象，我们对梁内部的变形及受力作如下假设： a.梁的横截面在梁变形后仍保持为平面，且仍与梁轴线正交。此为平面 假设。 b.梁的所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉长或缩短（即纵向纤维之 间无相互挤压）。此为单向受力假设。将与底层平行、纵向长度不变的那层纵向纤维称为中性层。中性层即为梁内纵向纤维伸长区与 纵向纤维缩短区的分界层。中性层与横截面的交线被称为中性轴。纯弯梁变形时，所有横截面均保持为平面，只是绕各自的中性轴转过一角度，各纵向纤维承 受纵向力，横截面上各点只有拉应力或压应力。2)纯弯梁变形的几何规律1122O1 yO2x abdxdy1122O1O2abzy中性轴距中性层为y处的纵线ab的变形量： 1122O1 yO2x abdxdy1122O1O2abzy中性轴故ab纵线的正应变则为： 上式表明：每层纵向纤维的正应变与其到中性层的距离成线形关系。3).物理方程与应力分布由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由虎克 定律知表明横截面上正应力沿截面高度呈线形分布，而中性轴上各点的正应力为零。 -max+max中性轴（a）4).静力学关系xzyydAcM因：将(a)式代入(b)，于是有 ：即 ：由此可见，中性轴过截面形心。(b)(c)将(a)式代入(c)并令得：由此可知，中性层层的曲率为为：Iz为截面对Z轴的惯性矩 中性层的曲率1/与弯矩M成正比，与EIz成反比。可见，EIz的大小直接决定了梁抵抗 变形的能力，因此称EIz为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度。将上式代入(a)式，得：2.常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩 矩形截面的惯性矩Iz b/2b/2Cydyzyh/2h/2根据惯性矩定义有： 圆形截面的惯性矩Iz dzyyzc同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为式中D为空心圆截面的外径，为内、外径的比值。a) 惯性矩Iz / ymax只与截面的形状及尺寸相关，称其为抗弯截面模量，用Wz表示 因此，最大弯曲正应力即为: 矩形截面抗弯截面系数 圆圆形截面抗弯截面系数同理，空心圆圆截面的抗弯截面系数 b)抗弯截面模量c) 组合截面的惯性矩将组组合截面A划分为为n个简单图简单图 形，设设每个简单图简单图 形面积积分别为别为 A1、A2、An。 根据惯惯性矩定义义及积积分的概念，组组合截面A对对某一轴轴的惯惯性矩等于每个简单图简单图 形对对同 一轴轴的惯惯性矩之和，即：惯性矩的组合公式 平行移轴定理: zyz0yy0dCdA截面对任一轴（不通过形心）的惯性矩，等于截面对平行 于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和，该附加项等于 截面面积与两轴距离平方之积。因该附加项恒为正，所以 ，截面对形心轴的惯性矩最小。例81图810所示为T字形截面，求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。20204060COyyCZZC解：（1）确定界面形心C的位置 建立坐标标系Oyz,将截面分为为两个矩形、， 其面积积及各自的形心纵纵坐标标分别为别为 ： A160201200mm2 yC120/210mm A2=4020800 mm2 yC240/22040mm 由形心计计算公式，组组合截面形心C的纵纵坐标为标为20204060COyyCZZC（2）求截面对对形心轴轴zC的惯惯性矩Iz根据组组合公式有：由平移轴轴公式有：故有：3.横力弯曲时梁的正应力计算 例82图811a所示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm， l=300mm。b=20mm，h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。lqABQBqABMBbhcdh/2zy解：（1）求B截面上的弯矩 由截面法，求得：(2)求B截面上c、d处处的正应应力例83求图812a所示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN， Iz=10200cm4。AB CP2P96. 45050200150yz解：（1） 画弯矩图，确定危险面12KNm16KNm(2) 确定危险点，计算最大拉应力与最大压应力显显然，A截面上的最大拉应应力要大于B截面上的最大拉应应力，故梁内最大拉应应力发发生在A截面下边缘边缘 各点对对A、B两截面，需经计经计 算，才能得知哪个截面上的最大压应压应 力更大：由此可见见，梁内最大压应压应 力发发生在B截面的下边缘边缘 各点二. 对称弯曲切应力简介yzybhQ(中性轴)yC根据剪应力互等定理可知，在截面的两侧边缘，剪应力的方向一定 平行于截面侧边。若截面是窄而高的，则可以认为剪应力沿横截面的 宽度方向均匀分布。 根据局部梁的平衡条件，可推出梁横截面上y处的剪应力为：式中,Q为横截面上的剪力；b为横截面上所求应力点处的宽度；Iz为整个横截面对中性轴 的惯性矩；Sz（）为y处横线一侧的部分横截面对中性轴的静矩。矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度按抛物线规律变化 ,中性轴处剪应力最大,为:工字钢截面由上、下翼缘及垂直腹板组成。计算结果表明，横截面上的剪应力 主要分布于腹板上，由于腹板为狭长矩形，所以可以应用公式分析并计算其上的剪应力。 腹板上的剪应力仍按抛物线规律变化，最大剪应力在中性轴上。当腹板宽度远小于翼缘 宽度时，腹板上最大剪应力与最小剪应力相差不大，可近似认为剪应力在腹板上呈均匀 分布。例84. 试计算图815a所示工字形截面梁内的最大剪应力。 5KN10KN15KN解:（1）画梁的剪力图图,最大剪力为为15KNb=6mmIz/Sz()=13.8cm(3)计算应力（2）查表得No16工字钢的截面几何数据三. 梁的强度条件及其应用1 弯曲强度条件: 在一般载荷作用下的细长、非薄壁截面梁，弯矩对强度的影响，要远大于剪力的影响。 因此，对细长非薄壁梁进行强度计算时，主要是限制弯矩所引起的梁内最大弯曲正应力 不得超过材料的许用正应力，即：2 强度条件的应用 我们常常应用强度条件来解决三类强度问题：强度校核、设计截面、确定许可载荷。 在进行这类强度计算时，一般应遵循下列步骤： 分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力；分析梁的内力（画出弯矩图） 依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险 面。对变截面梁，则需依据弯矩及截面变化情况，才能确定危险面。确定危险点：对于拉、压力学性能相同的材料（如钢材），其最大拉应力点和最大压应力点具有 同样的危险程度，因此，危险点显然位于危险面上离中性轴最远处。而对于拉、压力学性能不等的 材料（如铸铁），则需分别计算梁内绝对值最大的拉应力与压应力（如例83），因为最大拉应力 点与最大压应力点均可能是危险点。 依据强度条件，进行强度计算。例85一原起重量为50KN的单梁吊车，其跨度l=10.5m（其计算简图如图813a）， 由45a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到Q=70KN，试校核梁的强度。若强度不够， 再计算其可能承受的起重量。梁的材料为A3钢，许用应力=140MPa；电葫芦自重 G=15KN，暂不考虑梁的自重。lQ+G（Q+G）l/4解：（1）做弯矩图，确定危险面（2）计算最大弯曲正应力(3)依据强度条件，进行强度计算梁的最大起重量为61.3KN 例86图814a所示简支梁，受均布载荷q作用，梁跨度l=2m，=140MPa， q=2KN/m，试按以下两个方案设计轴的截面尺寸，并比较重量。qlql2/81.实实心圆圆截面梁 2.空心圆圆截面梁，其内、外径之比 = 0.9。解：画梁的弯矩图，由弯矩图可知，梁中点截面为危险截面， 其上弯矩值为： （1）据强度条件设计实设计实 心截面梁的直径d：取 d=42mm（2）.确定空心截面梁的内、外径d1及D 取 D=60mm,则则 d1=0.9D=54mm（3）.比较较两种不同截面梁的重量因材料及长长度相同，故两种截面梁的重量之比等于其截面积积之比。重量比为为: 四. 提高梁强度的主要措施降低梁内最大正应力，通常可以从以下几方面采取措施 1.选择合理的截面形状合理的截面形状，就是用最少的材料获得最大的抗弯截面模量的截面。一般情况下，抗弯截面模 量与截面高度的平方成正比，因此，在横截面积不变的前提下，将较多材料配置在远离中性轴的位 ，便可获取较大的抗弯截面模量，从而降低梁内的最大弯曲正应力。而另一方面，由于弯曲正应力 沿截面高度呈直线分布，当离中性轴最远处的正应力达到许用应力时，中性轴附近各点处的正应力 仍很小，而且离中性轴较近的区域所承担的弯矩很小。所以，将较多材料配置于远离中性轴的部位 ，也会提高材料的利用率。2.采用变截面梁或等强度梁从强度角度考虑，理想的变截面梁应使所有截面上的最大弯曲正应力均相等，且趋近材 料的许用应力，此种梁称为等强度梁。 阶梯轴为近似的等强度梁 等高等强度梁。3.改善梁的受力状况合理安排梁的约束及加载方式，可以降低梁内的最大弯矩，从而减小梁内最大弯曲正应力， 这是提高梁强度的另一措施。 五.斜弯曲图示梁，载荷P位于梁右端面内，通过形心，但不与该面的对称轴重合， 此类弯曲，称为斜弯曲。 力P沿y、z方向分解 ：、Py使梁在xy平面（水平面）内产生对称弯曲 Psin.lxyPz使梁在xz平面(铅垂面)内产生对称弯曲 Pcos.lxz由内力图图知，固定端截面处处弯矩最大，此处为处为 危险险面。梁在水平面内及铅垂面内 发生对称弯曲时，危险面上正应力分布 ：D1D2D1D2危险面上最大拉应力及最大压应力分别发生于D1、D2两点处 D1、D2两危险点处，只有正应力，其强度条件与对称弯曲的强度条件相同，即即 例88. 图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N, F2=1.6KN,l=1m,许用应力 =180Mpa,试分别在下列两种情况下，校核梁的强度。 1）截面为矩形，h=2b=80mm； 2）截面为圆形,d=60mm。bhdF1F2llABCDEF此梁受到两个集中力作用，两个力分别作用于 梁的不同方位的纵向对称面内，此类弯曲也属 斜弯曲。yzF2 l2 F1 lxy解： 1.内力分析 梁在F1、F2作用下，分别别在水平方位及铅铅垂方位产产生对对称弯曲，其各自的弯矩图图:（2）求危险面上的最大正应力，校核强度A梁横截面为矩形，危险面上的最大正应力发生在E、F两点处，其值为bhdF1F2llABCDEFB梁横截面为圆形 bhdF1F2llABCDEF梁在水平方位弯曲时，最大弯曲正应力发生在危险面的A、B两点处；铅垂方位弯曲时， 最大弯曲正应力则发生在C、D两点处，可见，两个方位弯曲所产生的最大弯曲正应力并 不发生于同一点处，不能将两个最大弯曲正应力叠加。但是，因圆截面梁有无数个纵向 对称面，所以，只要载荷过截面圆心且垂直于梁轴线，梁就会产生对称弯曲。所以，可 以将危险面上两个相互垂直的弯矩合成，进而求在合弯矩作用下的最大弯曲正应力，此 即为该面上的最大正应力。 六. 拉（压）弯组合变形的强度计算l/2Cl/2qPP图示梁上除作用有横向力外，同时还作用有 轴向力，在这样的外力作用下，杆将产生弯 曲与拉伸（或压缩）的组合变形。NMN+Mmaxy+=由内力分析可知，C截面为危险截面，其上 内力分布如图：