习题一习题一 随机事件及其概率随机事件及其概率 一、填空题 1设随机试验 E 对应的样本空间S,与其任何事件不相容的事件为，而与其任何事件相互独立的事件为 S；设有 P（A|B）=1, 则 A、B 两事件的关系为 A=B；设 E 为等可能型试验，且S包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2若A表示某甲得 100 分的事件，B表示某乙得 100 分的事件，则 （1）A表示 甲未得 100 分的事件； （2）AB表示 甲乙至少有一人得 100 分的事件； （3）AB表示 甲乙都得 100 的事件； （4）AB表示 甲得 100 分，但乙未得 100 分的事件； （5）AB表示 甲乙都没得 100 分的事件； （6）AB表示 甲乙不都得 100 分的事件； 3若事件, ,A B C相互独立，则()P ABC= ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )P AP BP CP A P BP A P CP B P CP A P B P C+。 4若事件,A B相互独立，且( )0.5,( )0.25,P AP B=则 ()P AB=0.625。 5设111( )( )( ), ()()(), (),4816P AP BP CP ABP ACP BCP ABC=则 ()P ABC=167；()P ABC =169；( , ,)P A B C=至多发生一个43；( , ,P A B C=恰好发生一个）163；(|)P A ABC=74。 6袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球， 取后不放回， 则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7将 C，C，E，E，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为1 1260。 810 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概率为 。 9在- 1,1上任取一点，则该点到原点距离不超过1 3的概率是0.33。 10在区间（0，1）上随机地取出两个,u v，则关于x 的一元二次方程220xvxu+=有实根的概率是0.33。 11若有 n 个人随机地站成一列，其中有甲、乙两个，则夹在甲和乙之间恰 有 r 个人的概率为) 1() 1(2 nnrn。 12对二事件,A B已知( )0.6P A =，( )0.7P B =,那么()P AB可能取到的最大值是 0.6 ；可能取到的最小值是 0.3 ；()P AB可能取到的最大值是 1 ；可能取到的最小值是 0.7 。 13由装有 3 个白球 2 个黑球的箱中，随机地取出 2 个球，然后放到装有 4 个白球和 4 个黑球的箱子中，试计算最后从第二个箱子中取出一球，此球为白球的概率为 0.52。 二、选择题 1以下命题正确的是 （ABCD） A.()()ABABA=； B.若AB，则ABA=； C.若AB，则BA； D.若AB，则ABB=. 2某学生做了三道题，以A表示“第i题做对了的事件”(1,2,3)i =，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ B D ） A. 212313123A A AA A AA A A； B. 122313A AA AA A； C. 122313A AA AA A ； D. 212313123123A A AA A AA A AA A A. 3 若事件A与B相容，则有 （ B ） A.()( )( )P ABP AP B=+； B. ()( )( )()P ABP AP BP AB=+； C. ()1( )( )P ABP AP B= ； D. ()1( ) ( )P ABP A P B= . 4 .事件 A 与 B 互相对立的充要条件是 （ C ） A.()( ) ( )P ABP A P B=; B.()0P AB =且()1P AB=; C.AB =且ABS=; D.AB =. 5.已知( )0P B 且12A A = ,则（ ABC ）成立. A.1(|)0P A B ； B.1212()|)(|)(|)P AABP A BP AB=+； C.12(|)0P A AB =； D. 12(|)1P A AB = . 6若( )0,( )0P AP B且(|)( )P A BP A=，则（ AB ）成立. A. (|)( )P B AP B=； B.(|)( )P A BP A=； C.,A B 相容； D.,A B不相容. 7对于事件 A 与 B，以下命题正确的是( ). A.若 A、B 互不相容,则 A、B 也互不相容； B.若 A、B 相容,则 A、B 也相容； C.若 A、B 独立，则 A、B 也独立； D.若 A、B 对立，则 A、B 也对立. 8若事件 A 与 B 独立，且( )0,( )0P AP B， 则（ AB ）成立. A. (|)( )P B AP B=； B.(|)( )P A BP A=； C.,A B 相容； D.,A B不相容. 三、解答题 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间S与随机事件A： （1）掷一颗骰子，观察向上一面的点数；事件A表示“出现奇数点” ； （2）对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击不超过 3 次” ； （3）把单位长度的一根细棒折成三段，观察各段的长度；事件A表示“三段 细棒能构成一个三角形” 。 解: (1) 11,2,3,4,5,6S =,A1=1,3,5 ; (2) 21,2,S =L , A2=1,2,3 ; (3) 设折得三段长度分别为 x,y 和 1- x- y，()3,01,0,1Sx yxyx y=+43),(,)21()(1),(22222yxyxyxyx。 由几何概型公式得75. 0143)(= = AP. 9. 在长度为 T 的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机。长信号持续时间为1()tT， 短信号持续时间为2()tT。 试求这两个信号互不干扰的概率。 解： 设 x,y 表示两个长短不等的信号到达时间， 样本空间 S=,0),(Tyxyx记 A为“两个信号互不干扰” ，则 A=12,),(txytyxyx，由几何概型公式得 2221 22 12 2 )1 (21)1 (21)(21)(21)(Tt TtTtTtT AP+=+ =。 10. 从 5 双不同的鞋中任取 4 只， 求这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。 解：为从 5 双(10 只)不同的鞋中任取 4 只，我们一只一只地取出,共有 1098 7 种取法， 此即为样本点总数。 设以 A 表示事件 “4 只中至少有 2 只配对成双” ，则 A 的对立事件A为“4 只鞋子中没有 2 只成双” 。现在来求A中的样本点数：4只鞋是一只一只取出的，第一只可以任意取，有 10 中取法，第二只只能取剩下 的且除去和已取出的第一只配对的另一只后的 8 只鞋子中任取一只， 它有 8 种取法。同理第三只、第四只鞋子只有 6、4 种取法，所以A中样本点总数为 10864，得 10 8 6 413( )1( )110 9 8 721P AP A = = = 11. 设,A B是两个事件,已知( )0.5,( )0.7,()0.8P AP BP AB=,试求()P AB与()P BA。 解 ： 由加法公式()( )( )()P ABP AP BP AB=+，可知()0.4P AB =。由于ABAAB=,BABAB=, 且,ABA ABB, 则 由 概 率 性 质 可 知()()( )()0.1P ABP AABP AP AB=,同理()( )()0.3P BAP BP AB=。 12设, ,A B C是三个事件，已知( )( )( )0.3,()0.2P AP BP CP AB=， ()()0P BCP AC=。试求, ,A B C中至少有一个发生的概率和, ,A B C全不发生的概率。 解： 由,0()()0ABCBCP ABCP BC=,故()0P ABC =。ABC表示, ,A B C中 至 少 有 一 个 发 生 的 事 件 ， 由 已 知 事 件 概 率 及 概 率 加 法 公 式 有()( )( )( )()()()()0.3 30.2P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+= 0.7.=而, ,A B C全不发生这一事件可用ABC表示，由逆事件概率关系有 ()1()0.3P ABCP ABC= =. 13.已知111( ),(|),(|)346P AP B AP A B=，求()P AB。 解： 由乘法公式()1( ) ()12P ABP A P B A=,又由条件概率公式()() ( )P ABP A BP B=知 ( )1 2P B =，再由加法公式()3( )( )()4P ABP AP BP AB=+=。 14.设,A B是两个事件,已知( )0.3,( )0.6P AP B=，试在下列两种情况中分别求出(|),(|)P A B P A B。 (1) 事件,A B互不相容； (2) 事件,A B有包含关系。 解：(1)由AB=,则()0P AB =，()( )( )0.9P ABP AP B=+=。由条件概率公式及逆事件概率关系得()()0( )P ABP A BP B=，()()()0.25( )( )P ABP ABP A BP BP B= (2)由于( )( )P AP B，故AB。因此,AB A A B B= =。故类似（1）可得()( )()0.5( )( )P ABP AP A BP BP B=，()()( )()1( )( )( )P ABP ABP BP A BP BP BP B= 15一个盒子中装有 10 只晶体管，其中有 3 只是不合格品。现在作不放回抽样：连续取 2 次，每次随机地取 1 只 。试求下列事件的概率。 (1) 2 只都是合格品种 (2) 1 只是合格品，1 只是不合格品； (3) 至少有 1 只是合格品。 解：设iiA表示第i次取的是合格品， =1，2 1212112121212767(1) ()() (|)*10915 73377(2) ()*10910915 3214(3) ()1()1*10915P A AP A P AAP A AA A