120002000 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题第一试第一试 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分）1设全集是实数，若 A=x|0，B=x|=,则是 【答】 （ ）2x2210xx10BAI(A) 2 (B) 1 (C) x|x2 (D) 2设 sin0,cos0,且 sincos,则的取值范围是 【答】 （ ）3 3 3(A) (2k+,2k+), kZ (B) (+,+),kZ6 3 32k 6 32k 3(C)(2k+,2k+),kZ (D)(2k+,2k+)(2k+,2k+),kZ65 4 3U653已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形， 则ABC 的面积是 【答】 （ ）(A) (B) (C) 3 (D) 633 233334给定正数 p,q,a,b,c，其中 pq，若 p,a,q 是等比数列，p,b,c,q 是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0 【答】 （ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5.如果满足ABC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是【答】 （ ）（A）k=8 （B）0 a2，方程的判别式 = 4a2 -4bc0，因此，方程无实数根. 5 答案：B 设整点坐标(m,n)，则它到直线 25x-15y+12=0 的距离为22)15(25121525nmd34512)35(5nm由于 m,nZ，故 5(5m-3n)是 5 的倍数，只有当 m=n=-1，时 5(5m-3n)=-10 与 12 的和的绝对值最小，其值为 2，从而所求的最小值为.85346 答案： B 由知，5sin5cosi102sin102cosi，2，3，4，5，6，7，8，9，10(=1)是 1 的 10 个 10 次方根. 从而有8(x-)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)=x10-1 由因 2，4，6，8，10是 1 的 5 个 5 次方根， 从而有(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=x5-1 得 (x-)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)=x5+1 的两边同除以(x-5)=x+1，得(x-)(x-3) (x-7)(x-9)= x4-x3+x2-x+1. 所以 ，3，7，9为根的方程是 x4-x3+x2-x+1=0.二、填空题（满分 54 分，每小题 9 分） 7 答案：-20sin2000=sin(5360+200)=sin200=-sin20 故rcsin(sin2000)= rcsin(-sin20)= -rcsin(sin20)= -20aaa 8答案：18由二项式定理知，因此223n nnCa nnnnann1 1118) 1(2332=18. nnnaaa3333322 limL nn1118lim9答案：31=3log3log 3log3log4824 aa aaq3log3log3log3log4284 3110答案：90 如图所示，由c2+ac-215 aca2=0，=02222222cos baaacabaABF 则ABF=90.11 答案：3 242a解 如图，设球心为 O，半径为 r,体积为 V，面 BCD 的中心为 O1，棱 BC 的 中心点为 E，则 AO1=,2 12BOa 22 31aa a36由 OB =O1O +O1B =+O1B 得2222 1OBBO2OB+ 故 OB=2 32aa362, 0312a,46623aa-55a5-5bOABc F10ABCD0 EOH119于是 r = OE = =22BEOB 22 41 83aa .221aV=r =.3422 2161 34a3 242a12答案：28 中恰有 2 个不中数字时，能组成 C = 6 个不中数字 abcd2 4中恰有 3 个不中数字时，能组成 C+=12+4=16 个不中数字abcd1 31 2C1 2C1 2C1 2C中恰有 4 个不中数字时，能组成 P =6 个不中数字abcd3 3所以，符合要求的数字共有 6+16+6=28 个13答案：501解 由已知，对任何 nN, 有 f (n)= =132Nn SnS 232nnSn= 又因 n+34+34=50,64342nnnnn64341n64nn64.2故对任何 nN, 有 f (n)= 由于 f(8)=,故 f(n)的最大值为nn64341501501 50114答案：所求区间为1,3或-2-.17413解 化三种情况讨论区间a,b. (1) 若 0ab, 则 f (x)在 a, b 上单调递减，故 f(a) =2b, f(b)=2a 于是有，解之得 a, b = 1, 3 , 213 212213 21222baab(2)若 a 0 b, f (x)在 a, b 上单调递增，在0,b 上单调递减，, 因此 f (x)在 x=0 处取最大值 2b 在 x=a 或 x=b 处取最小值2a.故 2b=,b=.由于 a0, 213 413又 f(b)=-() + =21 4132 21303239故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a,即 2a=+,2 21a213解得 a=-2-;于是得 a,b=-2-,.171741310(2) 当 ab0 时，f(x)在a,b 上单调递增，故 f(a)=2a, f(b)=2b,即 2a=-+,2b=-+.2 21a2132 21a213由于方程x +2x-=0 的两根异号，故满足 ab0 的区间不存在.212 213p p综上所述，所求区间为1,3或-2-.1741315 答案：所求条件为+=1.21 a21 b 证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即 菱形中心. 假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与 C1内接,与 Co外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂 直平分,另外两个顶点必在 y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为+=1,即 bx+ay=ab.由于菱形与 CO外切,ax by故必有 =1,整理得+=1. 必要性得证.22baab21 a21 b充分性:设+=1,P 是 C1上任意一点,过 P、O 作 C1的弦21 a21 b PR，再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS，则 PQRS 为与 C1内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O 的坐标为(r1cos, r1sin),点Q 的坐标为(r2cos(+),r2sin(+),代入椭圆方程,得22+=1, +=1,22 1cos ar22 1sin br222)2cos(ar222)2sin(br于是,+=()+21 OP21 OQ2 22 111 RR2222sincos ba22)2(cosa22)2(sinb=+=1. 21 a21 b又在 RtPOQ 中，设点 O 到 PQ 的距离为 h，则=+=1,故得 h=1h121 OP21 OQ同理，点 O 到 QR，RS，SP 的距离也为 1，故菱形 PQRS 与 C0外切.充分性得证.注对于给出 ，=1 等条件者，应同样给分.2222baba 22baab20002000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试加试-222-2OPRQS 15-222-2OPRQSM1511CBAFDNME一、证明：连结 MN、BD，FMAB，FNAC，A，M，F，N 四点共圆. AMN=AFN , AMN+BAE=AFN+CAF=90，即 MNAD. SAMDN=ADMN21CAF=DAB，ACF=ADB，AFCABCABAC=ADAF . ADAC ABAF又 AF 是过 A、M、F、N 四点的圆的直经，=AFAF sinBAC=MN.BACMN sinABACsinBAC21abcS= ADAFsinBAC21= ADM N21=SAMDN二 证法一：由假设得 a1=4, b1=4 且当 n1 时（2an+1-1）+=(14an+12bn-7)+(8an+7bn-4)13nb3=(2an-1)+(7+4)nb33依次类推可得（2an-1）+= (7+(2a1 -1+)=(7+4nb31)34n 13bn)3同理（2an-1+ ）-=(7+4nb3n)3从而 an=(7+4+(7+4+ . 41n)3 41n)321由于 74=（2 ，32)3所以 an =(2+(2-)21n)32132n由二项式展开得 c n =(2+(2-) = ,21n)3213n nkk nC202k3kn 22显然 Cn为整数，于是 an为完全平方数.证法二：由已知得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3 =7an+48an-1+42bn-1-27 ,12由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 , 从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27 =14an-an-1-6 . 也就是 an+1=14an-an-1-6 . 设(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) 则有 6)1 (114ptpkkp解得或 3233234732347 22tpk 3233234732347 22tpk分别代入，根据数列 an+1-kan+t 是以 a1-ka0+t 为首项、p 为公比的等比数列，整理得nn nnaa2 1)32(32)347(32)323()347(nn nnaa2 1)32(32)347(32)323()347(-，整理得 2 32213221 nnna由二项式展开得