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第三讲柯西不等式与 排序不等式一 二维形式的 柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1(二维形式的柯西不等式):你能证明吗 ?推论向量形式:设,是两个向量,则 当且仅当是零向量,或存在实数k, 使=k时,等号成立.定理2: (柯西不等式的向量形式)xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xy P1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:观察定理(二维形式的三角不等式)设 ,那么例题例1.已知a,b为实数,证明:(a4+b4) (a2+b2) (a3+b3)2例3.设a,bR+,a+b=1,求证练习:作业第37页,第1,5,6题二 一般形式的 柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2二维形式的柯西不等式):三维形式的柯西不等式) :n维形式的柯西不等式):定理 设是实数,则当且仅当 (i=1,2,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,n) 时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。一般形式的三角不等式例1 已知都是实数,求证:例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数,证明:ab+bc+cd+da.例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。例4:设a、b、c为正数且各不相等。 求证: 又a、b、c各不相等,故等号不能成立 原不等式成立。例5 若abc 求证: 例6:若求证:分析:左端变形只需证此式 即可三 排序不等式反序和乱序和顺序和例1 :有10人各拿一只水桶去接水,设水 龙头注满第i(i=1,2,10)个人的水桶需要 ti分,假定这些ti各不相同。 问:只有一个水龙头时,应该如何安排10 人的顺序,使他们等候的总时间最少? 这个最少的总时间等于多少?解:总时间(分)是10t1+9t2+2t9+t10 根据排序不等式,当t1t2t9t10时,总时间取最小值。 即:按水桶的大小由小到大依次接水, 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是:10t1+9t2+2t9+t10例2 设a1,a2,an是n个互不相等的正整数,求证:证明:设b1,b2,bn是a1,a2,an的一个排列,且有 b1b2bn 因为b1,b2,bn是互不相等的正整数, 所以b11,b22,bnn.又因由排序不等式,得:练习练习练习练习
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