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一、复习回顾:1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a ( 大于|F1F2 |)的动点M的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程:3.椭圆中a,b,c的关系:当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时a2=b2+c2 1椭圆标准方程所表示的椭圆的范围是什么?2 椭圆有几条对称轴?几个对称中心?3上述方程表示的椭圆有几个顶点?顶点坐标是什么?6如何通过椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度?42a 和 2b表示什么? a和 b又表示什么?5椭圆离心率是如何定义的?范围是什么?二、导学导思:-axa, -byb 椭圆位于直线x=a,y= b所围成的矩形中,如图所示: oy B2B1A1A2 F1F2cab三、新课讲解:1、椭圆 的范围:由x2、椭圆 的对称性:从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看:(1)把x换成-x方程不变,图象关于 轴对称;(2)把y换成-y方程不变,图象关于 轴对称;(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于 成中心对称。y x 原点 坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。YXOP(x,y)P1(-x,y)P2(-x,-y)*长轴、短轴:线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于2 a和2 b 。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oy B2B1A1A2 F1F2cab(0,b)(0,-b)(a,0)(-a,0)3、椭圆 的顶点:令 x=0,得 y=?说明椭圆与 y轴的交点为( ), 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点为( )。0, b a, 0*顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭圆的顶点。焦点总在长轴上!123-1 -2 -3 -44y123-1 -2 -3 -44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形(1)(2)A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 00问题2:圆的形状都是相同的,而椭圆 却有些比较“扁”,有些比较“圆”,用什 么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢?4、椭圆的离心率 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围:1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就越 扁因为 a c 0,所以0b)知识归纳a2=b2+c2 标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关 系关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴 长为b. (ab)(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴 长为b.(ab)-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 a2=b2+c2一个框,四个点,注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现 例题1: 求椭圆 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:椭圆的短轴长是:2a=62b=4解题步骤:1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b: 2、确定焦点的位置和长轴的位置.解:把已知方程化成标准方程四、例题讲解:练习:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标。解:把已知方程化成标准方程椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:椭圆的短轴长是:2a=102b=8求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) a=6, e= , 焦点在x轴上(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8(3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6)求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量(a、b)当焦点位置不确定时,要讨论,此时有两个解!(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且焦距为6练习2:过适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 、 ; (2)长轴长等于 ,离心率等于 解:(1)由题意, ,又长轴在轴上,所以,椭圆的标准方程为 (2)由已知, , , , ,所以椭圆的标准方程为 或 例2 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长 的2倍,求椭圆的标准方程分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置 椭圆的标准方程为: ;椭圆的标准方程为: ;解:(1)当 为长轴端点时, , , (2)当 为短轴端点时, , , 综上所述,椭圆的标准方程是 或 例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标 轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P (3,0),求椭圆的方程。已知椭圆 的离心率 ,求 的值 由 ,得:解:当椭圆的焦点在 轴上时, ,得 当椭圆的焦点在 轴上时, ,得 由 ,得 ,即 满足条件的 或 思考:例题3离心率 e(1).若椭圆 + =1的离心率为 0.5,则:k=_(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列,则其离心率e=_例5 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l: 的距离的比为 ,求点M的轨迹.例5、解:如图,设d是点M到直线L的距离,根据题意,所求轨 迹的集合是:由此得 :这是一个椭圆的标准方程,所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆 。点M(x,y)与定点F(c,0)的距离 和它到定直线的距离比是常数求M点的轨迹。平方,化简得 :F为椭圆 的右焦点, P为椭圆上一动点, 求|PF|的最大值和最小值小结:本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围 、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义 。了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点 、焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们 解决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后 学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析 几何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角 度来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练 掌握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何 性质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中 ,准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想 。 1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是( ) (A)(B)(C)(D)2、椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 ,长轴长为6,则椭圆的方程 为( )(A)(B)(C)(D)或或DC巩固练习:1. 若点P(x,y)在椭圆椭圆上,则则点P(x,y)横坐标标x的取值值范围围 ? 3. 中心在原点,焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ? 4.说出椭圆 的长轴长,短轴长,顶 点和焦点坐标 2.若点P(2,4)在椭圆 上,下列是椭圆 上的点有 (1)P(-2,4) (2)P(-4,2) (3) P(-2,-4) (4)P(2,-4)
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