一、矩阵乘积的行列式一、矩阵乘积的行列式二、非退化矩阵二、非退化矩阵三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩引入行列式乘法规则其中则 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩定理1 设 为数域 上的 级矩阵，则推广 为数域 上的 级方阵，则一、矩阵乘积的行列式 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩定义若 ，称 为退化的若 ，则称 为非退化的；注： 级方阵 非退化 ；级方阵 退化设 为数域 上的 级方阵， 二、非退化矩阵 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩推论 设 为数域 上的 级矩阵，则非退化 都非退化证：退化 或 退化非退化且都非退化 . 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩三、矩阵乘积的秩定理2 设 为数域 上的矩阵，则证： 令设 的行向量组为的行向量组为则向量组合 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩即有故 可由 线性表示.所以 同理， 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩三、矩阵乘积的秩定理2 设 为数域 上的矩阵，则推广 如果 ，则 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩证明：例1设A为n级方阵，且证：又由 有而于是有所以