北师大版高中数学选修2-2第 一章推理与证明4 数学归纳法 数学归纳法(1)法门高中姚连省制作1数学归纳法(1)2一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理 与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归 纳法”证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能 力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。4、 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛 围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探 究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生 的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用 。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程3问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题 2:完全归纳 法 不完全归 纳法 问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深 有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一4费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数100年后问题情境二5：由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法6多米诺骨牌课件演示 （2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 ？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才 能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块 骨牌）问题情境三7思考:问题2中证明数列的通项公式 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨 牌游戏解决这个问题吗?由条件知,n=1时猜想成立.如果n=k时猜想成立,即 ,那么当n=k+1时猜想也成立,即事实上,即n=k+1时猜想也成立 .8对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自 然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们 的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立;（2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法【归纳递推】【归纳奠基】9框图表示10例1.用数学归纳法证明111.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n1时，左边所得项是 ；当n2时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：12例2.用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列 ，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d 当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。凑假设 结论从n=k到 n=k+1有什么 变化13注意 1.用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据 nk时 命题成立作为必用的条件运用，而nk+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式 、定理等加以证明14例3 用数学归纳法证明 【分析】(1) 第一步应做什么?本题的n0应取多少? n0=1, （2）在证传递性时，假设什么？求证什么?假设1+3+5+.+（2k-1）=k2求证1+3+5十.十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)2（3）怎样将假设1+3+5+.+（2k-1）=k2推理变形为1+3+5十.十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)215证明：当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。假设n=k(kN ,k1)时等式成立,即：1+3+5+(2k-1)=k2，当n=k+1时：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。由和可知，对nN ，原等式都成立。例3、用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n2 （nN ） . 请问： 第步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)2 ?为什么？161、用数学归纳法证明：1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)；证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+3+k =k(k+1)/2那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1)=(k+1)(k+1)+1/2这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN都成立。练习：172、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 + 2k=22k-1=2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN* 都成立。练习：18分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。 有几项？ 是什么,它比多出了多少，是首要问题。例4对于nN*用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项 中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4kf(k+1)=f(k)+1+2+3+k19证明：设f(n)= (1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)设当nk,时等式成立，即则n=k+1时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)由（1）（2）可知 当nN*时等式都成立 。201.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确（3）由（1）、（2）得出结论【归纳递推】找准起点 奠基要稳用上假设 递推才真 写明结论 才算完整归纳小结21作业:课本习题1-4：3 补充题：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1) 证明： n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2，左边=右边，等 式成立。 假设当n=k(kN ）时有：(k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3 (2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2k 1 3(2k-1)(2k+1)2= 2k+11 3 (2k-1) 2(k+1)-1=右边，当n=k+1时等式也成立。由 、可知，对一切nN ,原等式均成立。 五、教学反思：22