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离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章教材第3章习题与上机题解答1 计算以下序列的N点DFT, 在变换区间0nN1内 , 序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=(n)(3) x(n)=(nn0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) (6) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(7) x(n)=ej0nRN(n)(8) x(n)=sin(0n)RN(n)(9) x(n)=cos(0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)解:(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2)(3)(4)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(5)0kN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章0kN1(7) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章或(8) 解法一 直接计算: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二 由DFT的共轭对称性求解。因为所以所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章即结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。(9) 解法一 直接计算: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二 由DFT共轭对称性可得同样结果。 因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(10) 解法一上式直接计算较难, 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n), 所以x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式两边进行DFT, 得到X(k)X(k)WkN+N=N(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章故当k=0时, 可直接计算得出X(0)为这样, X(k)可写成如下形式: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二 k=0时, k0时, 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以, ,即2 已知下列X(k), 求x(n)=IDFTX(k)(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2)其中, m为正整数, 0mN/2, N为变换区间长度。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: (1) n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2)n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3 已知长度为N=10的两个有限长序列: 做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n), 循环卷积区间长度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图(a)、 (b)、 (c)所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章题3解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章4 证明DFT的对称定理, 即假设X(k)=DFTx(n), 证明DFTX(n)=Nx(Nk)证: 因为所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由于所以DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N15 如果X(k)=DFTx(n), 证明DFT的初值定理证: 由IDFT定义式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章可知6 设x(n)的长度为N, 且X(k)=DFTx(n) 0kN1令h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)与X(k)的关系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章因为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以7 证明: 若x(n)为实序列, X(k)=DFTx(n)N, 则X(k)为共轭对称序列, 即X(k)=X*(Nk); 若x(n)实偶对称, 即x(n)=x(Nn), 则X(k)也实偶对称; 若x(n)实奇对称, 即x(n)=x(Nn), 则X(k)为纯虚函数并奇对称。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章证: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道, 如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中, Xep(k)=DFTxr(n), 是X(k)的共轭对称分量; Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。 所以, 如果x(n)为实序列, 则Xop(k)=DFTjxi(n)=0, 故X(k)=DFTx(n)=Xep(k), 即X(k)=X*(Nk)。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2) 由DFT的共轭对称性可知, 如果 x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n)所以, 当x(n)=x(Nn)时, 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分, 所以X(k)只有实部, 即X(k)为实函数。 又由(1)证明结果知道, 实序列的DFT必然为共轭对称函数, 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 所以X(k)实偶对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章同理, 当x(n)=x(Nn)时, 等价于x(n)只有xop(n)成分(即xep(n)=0), 故X(k)只有纯虚部, 且由于x(n)为实序列, 即X(k)共轭对称, X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯虚奇函数。 8 证明频域循环移位性质: 设X(k)=DFTx(n), Y(k)=DFTy(n), 如果Y(k)=X(k+l)NRN(k), 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章证: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章令m=k+l, 则9 已知x(n)长度为N, X(k)=DFTx(n), 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章求Y(k)与X(k)的关系式。 解:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章10 证明离散相关定理。 若X(k)=X1* (k)2(k) 则证: 根据DFT的惟一性, 只要证明即可。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章令m=l+n, 则所以 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章当然也可以直接计算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。 0nN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由于0nN1所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章11 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFTx(n), 则证: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章12 已知f(n)=x(n)+jy(n), x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设F(k)=DFTf(n)N 0kN1(1)(2) F(k)=1+jN试求X(k)=DFTx(n)N, Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共轭对称性可知x(n) X(k)=Fep(k)jy(n) jY(k)=Fop(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章方法一 (1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章0nN1由于0n, mN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以x(n)=an 0nN1同理 y(n)=bn 0nN1(2) F(k)=1+jN,离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章方法二 令只要证明A(k)为共轭对称的,B(k)为共轭反对称, 则就会有A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)因为,共轭对称离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章,共轭反对称 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由方法一知x(n)=IDFTX(k)=anRN(n)y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n)13 已知序列x(n)=anu(n), 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点, 采样序列为求有限长序列IDFTX(k)N。 解: 我们知道, , 是以2为周期的周期函数, 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章以N为周期, 将 看作一周期序列 的DFS系数, 则由式知 为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章将式代入式得到由于 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由题意知 所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由于0nN1, 所以因此说明: 平时解题时, 本题推导离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章的过程可省去, 直接引用频域采样理论给出的结论(教材中式(3.3.2)和(3.3.3))即可。14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n对每个序列作20点DFT, 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么?离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: 如前所述, 记fl(n)=x(n)*y(n),而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27, f(n)长度为20。 由教材中式(3.4.3)知道f(n)与fl(n)的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足 f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 (1) 求X(k)的其余3点的值; (2) 求X1(k)=DFTx1(n)8;(3) ,求。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: (1)因为x(n)是实序列, 由第7题证明结果有X(k)
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