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2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三(上)期中数学试卷(文科)学年湖南省衡阳四中高三(上)期中数学试卷(文科)一一.选择题(本题共选择题(本题共 12 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 60 分)分)1设 i 为虚数单位,复数 z1=3ai,z2=1+2i,若是纯虚数,则实数 a 的值为( )ABC6D62钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( ) A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件3已知数列an满足 3an+1+an=0,a2= ,则an的前 10 项和等于( )A6(1310)BC3(1310)D3(1+310)4在ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,casinBcosC+csinBcosA= b,且 ab,则B=( )ABCD5已知向量 =(+1,1) , =(+2,2) ,若( + )( ) ,则 =( )A4B3C2D16等差数列an中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an前 9 项的和 S9等于( ) A99B66C144D2977已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(1,a+2)处切线的斜率为 8,a=( )A9B6C9D68若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立,则 a 的取值范围是( )A (,+)B (2,+)C (0,+)D (1,+)9已知函数 f(x)=sinx+cosx(0) ,y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 ,则 f(x)的一条对称轴是( )Ax=Bx=Cx=Dx=10已知实数 a,b,c,d 成等差数列,且曲线 y=3xx3的极大值点坐标为(b,c) ,则 a+d 等于( )A2B2C3D311x 为实数,x表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=xx在 R 上为( )A奇函数B偶函数C增函数D周期函数12已知函数 f(x)=x(lnxax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( )A (,0) B (0, ) C (0,1)D (0,+)二二.填空题(本题共填空题(本题共 4 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分13若向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则 的值为_14在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a0 时,实数 b 的最小值是 _15等比数列an的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=_16在 R 上定义运算:xy=x(1y) 若不等式(xa)(x+a)1,对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是_三解答题(本题共三解答题(本题共 6 道小题,第道小题,第 17 题题 10 分,第分,第 18,19,20,21,22 题题 12 分分17在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积 S=abcosC (1)求角 C 的大小;(2)设函数 f(x)=sin cos +cos2,求 f(B)的最大值,及取得最大值时角 B 的值18设ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, =(cosA,cosC) , =(c2b,a) ,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=b,且 BC 边上的中线 AM 的长为,求边 a 的值19已知数列an是首项为 1,公差不为 0 的等差数列,且 a1,a2,a5成等比数列 (1)求数列an的通项公式;(2)若 bn=,Sn是数列bn的前 n 项和,求证:Sn 20某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ,该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长 后通过点 O 的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设 小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 (弧度) (1)求 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分的装饰费用 为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 x 为何值时,y 取得 最大值?21已知函数 (I)判断函数 f(x)的单调性;()若 y=xf(x)+ 的图象总在直线 y=a 的上方,求实数 a 的取值范围;()若函数 f(x)与的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数 m 的值22已知函数 f(x)= x2+x+alnx(aR) (1)对 a 讨论 f(x)的单调性;(2)若 x=x0是 f(x)的极值点,求证:f(x0) 2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三(上)期中数学试卷(文科)学年湖南省衡阳四中高三(上)期中数学试卷(文科)一一.选择题(本题共选择题(本题共 12 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 60 分)分)1设 i 为虚数单位,复数 z1=3ai,z2=1+2i,若是纯虚数,则实数 a 的值为( )ABC6D6【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解:z1=3ai,z2=1+2i,由=是纯虚数,得,解得:a= 故选:B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题2钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( ) A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】压轴题;规律型 【分析】 “好货不便宜”,其条件是:此货是好货,结论是此货不便宜,根据充要条件的定义进行判断即可, 【解答】解:若 pq 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充分条件; “好货不便宜”,其条件是:此货是好货,结论是此货不便宜,由条件结论 故“好货”是“不便宜”的充分条件 故选 A 【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题3已知数列an满足 3an+1+an=0,a2= ,则an的前 10 项和等于( )A6(1310)BC3(1310)D3(1+310)【考点】等比数列的前 n 项和 【专题】计算题;等差数列与等比数列【分析】由已知可知,数列an是以 为公比的等比数列,结合已知可求 a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解:3an+1+an=0数列an是以 为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得,S10=3(1310)故选 C 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题4在ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,casinBcosC+csinBcosA= b,且 ab,则B=( )ABCD 【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形 【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与差的正弦函数 公式化简求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB,sinB0,sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , ab,AB,即B 为锐角,则B= 故选 A 【点评】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦定理是解本题 的关键5已知向量 =(+1,1) , =(+2,2) ,若( + )( ) ,则 =( )A4B3C2D1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】平面向量及应用 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解:,=(2+3,3) ,=0,(2+3)3=0,解得 =3故选 B 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键6等差数列an中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an前 9 项的和 S9等于( ) A99B66C144D297 【考点】等差数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得 a4=13,a6=9,可得 a4+a6=22,再由等差数列的求和公式和性质可得 S9=,代值计算可得【解答】解:由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4,a3+a9=2a6, 又a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27, a4=13,a6=9,a4+a6=22,数列an前 9 项的和 S9=99故选:A 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题7已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(1,a+2)处切线的斜率为 8,a=( )A9B6C9D6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得 a 的值【解答】解:y=x4+ax2+1, y=4x3+2ax,曲线 y=x4+ax2+1 在点(1,a+2)处切线的斜率为 8,42a=8a=6故选:D 【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题8若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立,则 a 的取值范围是( )A (,+)B (2,+)C (0,+)D (1,+)【考点】其他不等式的解法;函数单调性的性质 【专题】不等式的解法及应用【分析】转化不等式为,利用 x 是正数,通过函数的单调性,求出 a 的范围即可【解答】解:因为 2x(xa)1,所以,函数 y=是增函数,x0,所以 y1,即 a1,所以 a 的取值范围是(1,+) 故选:D 【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力9已知函数 f(x)=sinx+cosx(0) ,y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 ,则 f(x)的一条对称轴是( )Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】由 y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的图像与性质【分析】化简函数 f(x)=sinx+cosx 为 f(x)=2sin(x+) ,y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个 相邻交点的距离等于 ,求出函数的周期,推出 ,得到函数解析式,从而可求 f(x)的一条对称轴【解答】解:函数 f(x)=sinx+cosx=2sin(x+) , 因为 y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 ,函数的周期 T=,所以 =2,所以 f(x)=2sin(2x
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