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【高考目标定位高考目标定位】 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和 1 1、考纲点击、考纲点击 (1)理解等差数列的概念; (2)掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式; (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题; (4)了解等差数列与一次函数的关系。 2 2、热点提示、热点提示 (1)以考查通项公式、前 n 项和公式为主,同时考查“方程思想” ; (2)以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质; (3)数列与函数交汇是解答题综合考查的热点。 三、等比数列及其前三、等比数列及其前 n n 项和项和 1 1、考纲点击、考纲点击 (1)理解等比数列的概念; (2)掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式; (3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题; (4)了解等比数列与指数函数的关系。 2 2、热点提示、热点提示 (1)以定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定; (2)以考查通项公式、前 n 项和公式为主,同时考查等差数列、等比数列的综合应用;3、以选择、填空的形式考查等比数列的性质、以选择、填空的形式考查等比数列的性质。【考纲知识梳理考纲知识梳理】等差数列等差数列 1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数 d称为等差数列的公差.2.通项公式与前n项和公式通项公式dnaan) 1(1,1a为首项,d为公差.前n项和公式2)(1n naanS或dnnnaSn) 1(21 1.3.等差中项如果bAa,成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A是a与b的等差中项baA2a,A,b成等差数列. 4.等差数列的判定方法定义法:daann1(Nn,d是常数)是等差数列; na中项法:212nnnaaa(Nn)是等差数列. na5.等差数列的常用性质数列是等差数列,则数列pan、npa(p是常数)都是等差数列; na在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即,32knknknnaaaa为等 na差数列,公差为kd.dmnaamn)( ;banan(a,b是常数);bnanSn2(a,b是常数, 0a)若),(Nqpnmqpnm,则qpnmaaaa;若等差数列的前n项和nS,则 nSn是等差数列; na当项数为)(2Nnn,则nn aa SSndSS1,奇偶 奇偶;当项数为)( 12Nnn,则nn SSaSSn1,奇偶 偶奇.等比数列等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq,这个数列叫做等比数列,常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式通项公式:1 1n nqaa,1a为首项,q为公比 .前n项和公式:当1q时,1naSn当1q时,qqaa qqaSnnn11)1 (11.3.等比中项如果bGa,成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等差中项a,A,b成等差数列baG2. 4.等比数列的判定方法定义法:qaann1(Nn,0q是常数)是等比数列; na中项法:22 1nnnaaa(Nn)且0na是等比数列. na5.等比数列的常用性质数列是等比数列,则数列npa、npa(0q是常数)都是等比数列; na在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,32knknknnaaaa为等 na比数列,公比为kq.),(Nmnqaamn mn若),(Nqpnmqpnm,则qpnmaaaa;若等比数列的前n项和nS,则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列. na例例已知数列的前 n 项和为,且满足nanS111120(2),2nnnnSSS SnaA(1)求证:是等差数列;1nS(2)求的表达式。na思路解析:思路解析:(1)与的关系结论;1120nnnnSSS SA1nS11nS(2)由的关系式的关系式1nSnSna解答:解答:(1)等式两边同除以得-+2=0,即-=2(n2).1nnS SA11nS1nS1nS11nS是以=2 为首项,以 2 为公差的等差数列。1nS11 S11 a(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)2=2n,=,当 n2 时,1nS11 SnS1 2n=2=。又,不适合上式,故。nanS1nS1 2 (1)n n11 2a 1(1)2 1(2)2 (1)nn a nn n 例例已知数列的首项=3,通项,且,nx1x2(, ,)n nxpnq nNp q为常数1x,成等差数列。求:4x5x(1)的值;, p q(2)数列的前 n 项和的公式。nxnS思路解析:思路解析:(1)由=3 与,成等差数列列出方程组即可求出;(2)1x1x4x5x, p q通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。nx解答解答:(1)由=3 得1x23pq又,45 4515424 ,25 ,2xpq xpqxxx且得5532528pqpq由联立得。1,1pq(2)由(1)得,2n nnx例例 11在等差数列中,其前 n 项和为。na161718936aaaa nS(1)求的最小值,并求出取最小值时 n 的值;nSnS(2)求。12nnTaaa思路解析:思路解析:(1)可由已知条件,求出 a1,d,利用求解,亦可用利用二次100nnaa nS函数求最值;(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答:解答:(1)设等差数列的首项为,公差为,na1ad179 1617181717336,12,3,179aaaaaaad ,令91(9)363,360nnaandnanA13630,:2021,3600nnannan得,当 n=20 或 21 时,最小且最小值为-630.202120 60( 3)6302SS nS(2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数。2( 60363)312321.222nnnnnSnn 当时,T2 212122( 60363)312321221260.222 3123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnn T nnn 当时,综上,例例在数列中,。 na112,431,nnaaannN(1)证明数列是等比数列;nan(2)求数列的前 n 项和; nanS(3)证明不等式对任意皆成立。14nnSSnN思路解析:思路解析:证明一个数列是等比数列常用定义法,即,对于本例(1)适当变1nnaqa形即可求证,证明不等问题常用作差法证明。解答:解答:(1)由题设得。又1431,nnaan1(1)4(),nnanan nN 所以数列是首项为 1,且公比为 4 的等比数列。111,a nan(2)由(1)可知,于是数列的通项公式为。所以数14nnan na14nnan列的前 n 项和。 na141(1) 32nnn nS(3)对任意的,nN,所1 2 141(1)(2)41(1)144(34)032322nnnnnnn nSSnn 以不等式对任意皆成立。14nnSSnN。1(2011江西高考)an为等差数列,公差 d2,Sn为其前 n 项和若 S10S11,则a1( )A18 B20C22 D242(2012广州调研)等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a58,S36,则 S10S7的值是( )A24 B48C60 D723(2012东北三校联考)等差数列an中,a5a64,则 log2(2a12a22a10)( )A10 B20C40 D2log254设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 2a86a11,则 S9的值等于( )A54 B45C36 D275设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 S150,S160 时,求 n 的最大值12数列an满足 an1an4n3(nN)(1)若an是等差数列,求其通项公式;(2)若an满足 a12,Sn为an的前 n 项和,求 S2n1.1等差数列中,3(a3a5)2(a7a10a13)24,则该数列前 13 项的和是( )A156 B52C26 D132在等差数列an中,a10,a10a110,a1a150,即 2a80,a80,又S16a2a80a9, ,中,最大S1a1S2a2S15a15S8a86选 C 依题意,知 a1a2a3a421,an3an2an1an67,a1a2a3a4an3an2an1an88,a1an22.884Sn286,n26.na1an27解析:设等差数列公差为 d,由 a3a 4,得 12d(1d)24,解得 d24,2 2即 d2.由于该数列为递增数列,故 d2.an1(n1)22n1.答案:2n18解析:a7a52d4,则 d2.a1a1110d21201,Skk2k29.又 kN,kk12故 k3.答案:39解析:an,bn为等差数列,.a9b5b7a3b8b4a92b6a32b6a9a32b6a6b6,S11T11a1a11b1b112a62b62 1134 1131941.a6b61941答案:194110解:(1)证明:由 Tn1an得,当 n2 时,Tn1,TnTn1两边同除以 Tn得1.1Tn1Tn1T11a1a1,故 a1 ,2.121T11a1是首项为 2,公差为 1 的等差数列1Tn(2)由(1)知n1,则 Tn,1Tn1n1从而 an1Tn,故n,nn1anTn数列是首项为 1,公差为 1 的等差数列,anTnSn.nn1211解:(1)由已知 a6a15d235d0,a7a16d236d0,a70,整理得 n(504n)0,00,a10a110,a110)的等比数列an的前 n 项和为 Sn,若S23a22,S43a42,则 q_.3设数列an的前 n 项和为 Sn,其中 an0,a1为常数,且a1,Sn,an1成等差数列(1)求an的通项公式;(2)设 bn1Sn,问:是否存在 a1,使数列bn为等比数列?若存在,求出 a1的值;若不存在,请说明理由答 案课时跟踪检测(三十二)A 级1选 B 设an的公比为 q(
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