乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 1 页2010 年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题考试时间：考试时间：2010 年年 5 月月 23 日日 10：0012：00一、填空题（每题一、填空题（每题 10 分，分，80 分）分）1、由曲线所围成的几何图形的面积为 。| |23|xyx2、设实数 x，y 满足，则 xy 。2011200920112009(1)(1)20104020(1)(1)20100xxxyyy3、已知,且，则存在整数，使下列等式成立的有 , ,a b cR1111 abcabck个。21 212121111111()k kkkabcabc 2121212121211111kkkkkkabcabc2 222111111()k kkkabcabc2222221111kkkkkkabcabc4、已知平面上两定点 A（3，0） ，B（0，4） ，P 为曲线上任意一点，过12(0)yxx点 P 作 PCx 轴，PDy 轴，垂足分别为 C,D，则四边形 ABCD 面积 S 的最小值为 。5、已知均为正实数，且满足123,na a aa，则 。123 12311111,4n naaaaaaaa123na a aa6、已知是互不相同的 n 个正整数，且满足，123,nk k kk3333 1232024nkkkk则正整数 n 的最大值为 。7、已知函数，若 m，n22( )1xf xx(1)(2)(101)fff，则 mn 。1111( )( )()()23100101ffff8、已知半径为 r 的球和半径为 R 的两个相切的球都相切，且它们都与大小为 60的二面角的两个半平面相切，则 。R r乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 2 页二、解答题（本大题共 4 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 9、 （本题 15 分）已知三棱锥 S-ABC 中，SC平面ABC，AB=BC=CA=，SC2，D,E 分别为 AB，BC 的中点，若点 P 在 SE 上移动，4 2求PCD 面积的最小值。10、 （本题 20 分）已知定点 M（3，0） ，P，Q 分别是 x 轴及 y 轴上的动点，且使MPPQ，点 N 在直线 PQ 上，3 2PNNQ （1）求动点 N 的轨迹 C 的方程（2）过点 T(1，0)作直线 交轨迹 C 于 A,B 两点，问在 x 轴上是否存在一点 D 使ABDl 为等边三角形，若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由。108642-2-4-6-551015Qg y = 0.25y2OTBADPNMSCABDE乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 3 页11、 （本题 20 分）已知数列满足na11412,1,2,.1121n n naaana（1）求的通项公式，并证明对任意的 x0，na2333(),1,2,.2(2)4nnax nxx（2）求证21233 21nnaaaan乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 4 页12、 （本题 15 分）平面上有 n个不共线的点，在每个点(3)n 12,nA AA旁标注数字，如果一条直线通过这些点中的两个或者更多个时，则这(1,2,3, )iA inia些点旁所标注的数字之和为零，证明：所有标注的数字都为零。乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 5 页乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 6 页乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 7 页乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 8 页乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 9 页乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504163.com QQ：122343339第 10 页