复变函数与积分变换试题与答案复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题一、填空题：（每题 3 分）分） 1.的三角表达形式： ；i31指数表达形式： ； 几何表达形式： .2 ；i2)3(3. 设,为曲线的长度，则 .MaxMCzzf| )(|LCzzf Cd)(4级数的和函数的解析域是 21nzzz。5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 二、解答题（每题二、解答题（每题 8 分）分）1设，则在何处可导？何处解析？22( )if zxyx y( )f z2已知 f（z）的虚部为，求解析函数22 21 21),(yxyxv.0)0()(fivuzf 且3.求积分 为沿单位圆的逆时针一周的曲线。, CIzdzC(| 1)z 24.求，其中为。sind(1)Czzz z AC| 2z 5.求，其中为。edcoszCzz AC| 2z 6把函数在内展开成罗朗级数。)2)(1(12zz2|1 z7指出 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点6sin)(zzzzf 处的留数。8.求将单位圆 | z | 1 内保形映照到单位圆 | w | 1 内， 且满足， 的分式线性映照。0)21(f2)21(arg f四、利用拉氏变换求解微分方程（6 分） （提示：） 1)0()0(34 yyeyyyt11tL es3试题答案试题答案一、填空题：（每题一、填空题：（每题 3 分）分） 1.的三角表达形式：;i31222cos(2)sin(2)33kik指数表达形式： ； 2(2)32kie几何表达形式：.| 13i| 2, 2( 13i) (2)3Argk 2；i2)3(222ln3kie3. 设,为曲线的长度，则.MaxMCzzf| )(|LC( )d Cf zzML4级数的和函数的解析域是。21nzzz| | 1z 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是：保圆性、保对称性、 ；带形域到角 形域；角带形域到角形域。二、解答题（每题二、解答题（每题 8 分）分）1设，则在何处可导？何处解析？22( )if zxyx y( )f z解：2222,2,2,(0,0),( )(0,0)uxyvx yuvuvyxxyxyxyyxCRf z处处可微,方程仅在处成立在处可导, 处处不解析.2已知 f（z）的虚部为，求解析函数22 21 21),(yxyxv( )f zu iv ,(0) 0f且解：22,(0)0(0,0)1( )().2uvuvyxxyyx uxycff zxyi xy 在处可导, 处处不解析.3.求积分 为沿单位圆的逆时针一周的曲线。, CIzdzC(| 1)z 解：设20(02 ),(3)2iiiizedzie dIeie di则分4.求，其中为。sind(1)Czzz z AC| 2z 4解：01sind(1)sinsin2Re ,0Re ,1(1)(1) sinsin2|2121 2sin1Czzzzz zzzissz zz z zzizz i A5.求，其中为。edcoszCzz AC| 2z 解：2222edcosee2Re ,Re ,cos2cos2ee2112(ee )zCzzzzisszzii A6把函数在内展开成罗朗级数。)2)(1(12zz2|1 z解：222 222 0012122 0001 (1)(2) 112521 1111(2)1521(1)2 11(2)1( )( 1)522112( 1)( 1)52nn n nnn nn nnn nnnzz z zzzzzz zz zzz zz 7指出 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点6sin( )zzf zz处的留数。5解：63576sin( )0,1( )()3!5!7! 0( )1Re ( ),0.5!zzf zzz zzzf zz zz zf zs f z 的孤立奇点= 为的三阶极点,8.求将单位圆 | z | 1 内保形映照到单位圆 | w | 1 内， 且满足， 的分式线性映照。0)21(f2)21(arg f解：设分式线性映照为11 2221 2 112 1111()4222|13(1)22 21 2iiizzz w e zzz wee zzw iz 四、利用拉氏变换求解微分方程（6 分） （提示：） 1)0()0(34 yyeyyyt11tL es解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得222231( )(0)(0) 4( )(0) 3 ( ),1 1(43) ( )5,1 66( ),(43)(1) 173( )244tttS Y sSyySY syY ssSSY sss ssY sSSsy tteee