数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系12.32.3 数列极限存在的条件数列极限存在的条件教学内容：教学内容：第二章 数列极限 2.3 数列极限存在的条件教学目标教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.教学要求教学要求：(1) 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；(2) 初步理解 Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用 Cauchy 准则判断某些数列的敛散性.教学重点教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用.教学难点教学难点：相关定理的应用.教学方法教学方法：讲练结合.教学过程教学过程：引言引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题） ；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难， na但由于当充分大时，能充分接近其极限 a，故可用作为 a 的近似值.nnana本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.从收敛数列的有界性可知：若收敛，则为有界数列；但反之不一定对，即有 na na na界不足以保证收敛.例如.但直观看来，若有界，又随 n 的增大（减少） na( 1)n na na而增大（减少） ，它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称单调数列单调数列.一、单调数列一、单调数列定义定义 若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列.递 na11()nnnaaaa na增和递减数列统称为单调数列数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系2例如：为递减数列；为递增数列；不是单调数列.1 n 2n( 1)n n二、单调有界定理二、单调有界定理问题问题 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可 na以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理定理（单调有界定理单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限.几何解释几何解释 单调数列na只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点na沿数轴移向无穷远；（2）na无限趋于某一个定点A，即)(nAan.证明证明 不妨设na单调增加有上界，把na看作集合，有确界原理，supna存在即：（1）n，na；（2）0，Nn 0使0na,由于na单调增加，故当0nn 时有0nana即当0nn 时 |na亦即 nnalim.例例 1 1 0a，证明数列aa 1，aaa2，aaaa3，naaaa，收敛，并求其极限.证明证明 从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的.易见0aan，且12aaa，23aaa，1nnaaa，,从而 12 nnaaanaa 两端除以na得 nnaaa1 ,n，aan aaan1故na有界即得极限存在.数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系3设nlimlan，对等式12 nnaaa两边取极限，则有)(limlim12 nnnnaaaaan n1limall22411al ,因na为正数列，故0l，因此取2411al 即为所求极限.例例 2 2 求nlimnkan（k为一定数，1a）解解 记 ncnkan，则0nc且 kknn nann acc)11 (1)1(11 1a，则N，当Nn 时 1)11 (1k na，故Nn 后，nc单调递减，又有 0nc极限一定存在，设为A,由 nk ncnac)11 (1 1两边取极限得 AaA1 （1a）0 A.例例 3 3 设 证明数列收敛.). 2 ( ,1 31 211nanna例例 4 4 求 ( 计算的逐次逼近法, 亦即迭代.21. 0, 011 nnnxaxxxa.limnnx a法 ).解解 由均值不等式, 有有下界,注意到对 nnnxaxx211 .n nnxaxax有 有, n,axn，,nnnnxaa xa xx. 1) (121121221 .limaxn n 三、柯西收敛准则三、柯西收敛准则( (一一) ) 引言引言单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系4柯西收敛准则.( (二二) ) CauchyCauchy 收敛准则收敛准则定理定理（auchyauchy 收敛准则收敛准则） 数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整 na0数，使得当时有., n mN|nmaa证明证明 “” na收敛，则存在极限，设aan n lim，则0，N，当Nn 时有2/| aan当Nmn,时有 |aaaaaanmmn“”先证有界性，取1，则N，Nmn,1|mnaa.特别地，Nn 时 1|1Nnaa1|1Nnaa,设 1| |,| ,|,| |,max|121NNaaaaM，则n，Man |.再由致密性定理知，na有收敛子列 kna，设aa knk lim,0，1N，1,Nmn|/2nmaa,K，Kk 2/| aa kn,取),max(1NKN ，当Nn 时有11NnNN 2/2/| 11aaaaaa NNnnnn,故aan k limCauchyCauchy 列、基本列（满足列、基本列（满足 CauchyCauchy 收敛准则的数列）收敛准则的数列）Cauchy 收敛准则的另一表示形式：0，N，当Nn 时，对P = =Z Z有 |nPnaa.( (三三) ) 说明说明1、 auchy 收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系52、 auchy 收敛准则的条件称为auchy 条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.3、 auchy 准则把定义中与 a 的之差换成与之差.其好处在于无需借助数列以Nnanama外的数 a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例例 如数列na满足|11nnnnaaqaa（, 3 , 2n）且10 q，证明数列na收敛.证明证明 令0|12cxx，|11nnnnaaqaa21 1221|n nnqaaqxx |1211nnpnpnpnpnnpnaaaaaaaa)(132npnpnqqqc)1 (11pnqqcqqqcn11.0， （不妨设qc 10 ） ，取ln)1ln( 1 qcqN ，则当Nn 时，对任给自然数p有 qcqaannpn1|1.故由 Cauchy 收敛准则知数列nx收敛. 例例 证明数列 nan1 211 发散.证明证明 要证：00，对N，必有Nm 0，0nN使得 0| 00nmaa设nm 则 )(1 21 111 21 11|nmnnnmnnaanm数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系6mn mnm mmm1111 ，因此，如nm2，则| 1 1/21/2mnaa .这样，对2/10，不管N多大，如取10 Nn，002nm 则Nm 0，0nN且 21 2111|0000mnaanm，这说明na不是一个Cauchy数列.（四）（四） 应用应用例例 5 5 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列) 10( . 021nbbb,101010, ,1010,10221 2211nnbbbbbb收敛. 其中是中的数.) 9 , 2 , 1 (ibi9 , 1 , 0证明证明 令 有na ,101010221 nnbbb 1122 11 101 1011109 101010pnpnpnnn nn npnbbbaa1109n.1 101) 1 . 0(1101 1 . 01 ) 1 . 0(1nnp np 例例 6 6 设 试证明数列收敛.sinsinsin , 102nn nqqqqqqxqnx关于极限的 证明留在下节进行.1lim 1nnen) 71828. 2(e例例 7 7 .11lim ,11limknnknnnn 例例 8 8 .211lim ,11lim ,1lim3nnnnknnnnnc 例例 9 9 .1232limnnnn 作业作业 教材 P3839 1，3，5，6，10，11；数学分析上册教案 第二章 数列极限 河西学院数学 系7教材 P4041 1（1） （3） ，3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P38 3（4）提示：考虑用双逼原理可求得） ,1nnab , 1nb附附