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直线和平面垂直直线和平面垂直 与平面和平面垂直与平面和平面垂直 (2)(2)例例3 3 如图,四边形ABCD中,ADBC,AD AB,BCD45,BAD90,将ABD 沿对角线BD折起,记折起后点A的位置为P,且 使平面PBD平面BCD,如图.考点三 折叠问题(1)求证:平面PBC平面PDC; (2)在折叠前的四边形ABCD中,作AEBD 于E,过E作EFBC于F,求折起后的图形中 PFE的正切值练习:如图,平面ABC平面BDC,BAC BDC90,且ABACa,则AD _.答案:a 例例4 4 已知BCD中,BCD90,BC CD1,AB平面BCD,ADB60, E、F分别是AC、AD上的动点,且 AE/ACAF/AD(01)考点四与垂直有关的探究性问题(1)求证:不论为何值, 总有平面BEF平面ABC; (2)当为何值时,平面 BEF平面ACD.分析 (1)只需证证明面BEF中恒有一直线线 与平面ABC垂直即可; (2)探究过过点B且与面ACD垂直的直线线,并 求此时时的值值题组自测1(2011长沙模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是( )A15 B30C45 D60考点五线面角与二面角答案:B2(2011西安模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 ( )A30 B45C60 D90答案:C3.如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PAAD1,AB2,E、F分别是AB、PD的中点(1)求证:AF平面PEC;(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值;(3)求二面角PECD的正切值四边形AEOF是平行四边形,AFOE.又OE平面PEC,AF平面PEC,AF平面PEC.(2)如图,连结AC,PA平面ABCD,PCA是直线PC与平面ABCD所成的角归纳领悟1线面角的问题(1)线面角涉及斜线的射影,故找出平面的垂线是基本思路,要注意与线线垂直,线面垂直的相互关系(2)求直线与平面所成角的一般过程为:通过射影转化法,作出直线与平面所成的角;在三角形中求角的大小二面角及其平面角一 概念1 二面角 : 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每 一部分叫做半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 二面角叫做二面角的棱半平面 叫二面角的面2二面角的平面角 (1)过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内作棱的 两条垂线 ,则 叫做二面角 的平面角(2)一个平面垂直于二面角 的棱 ,且与两半平面 交线分别为 为垂足,则 也是 的平面角 (3)在 内取一点A,过A作AB于B,过B作BO 于O连AO,由三垂线定理知, 也是二面角 的平面角二面角的平面角范围是:定义法 垂面法三垂线法例1 在正四面体 中,求相邻两个平面所成的二面角的 平面角的大小二 示例解:取 的中点 ,连接 正四面体 , 于 为二面角 的平面角 设正四面体的棱长为 1 则 由余弦定理得即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为 也可令 , ,棱长为 1,用向量求角 本题是用定义法找到了二面角的平面角A、B为垂足例2 过二面角 内一点P 作 若求(1)二面角 的平面角大小 (2)P到棱L的距离解(1)过P、A、B作一平面,交L于O连AO,BO因为所以 得 是二面角 的平面角 由知在三角形APB中,由余弦定理得由于四边形PAOB存在外接圆所以知PO即为P到L的距离本题是用垂面法找到二面角的平面角因为(2)例3在棱长为1的正方体 中, 求平面 与底面 所成二面角 的平面角大小 解:连AC交BD于O,则连因为所以OC是 在平面ABCD上的射影由三垂线定理得故 即为所求二面角的平面角因为所以得平面 与底面 所成二面角的平面角为本题是用三垂线定理找到了二面角的平面角【例4】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC 是直角三角形,ABC=900,2AB=BC=BB1=a,且 A1CAC1=D,BC1B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交 于DE. (1)A1B1平面BB1C1C;(2)求证:A1CBC1;( 3)求证:DE平面BB1C1C.【例题讲解】练习1:如图平面,四边形是 矩 形,、分别是、 的中点. )求平面与平面所成二面角的大小; )求证:平面平面 PA【练习2】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA 平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,又二面角P-CD -B为45。 1)求证:AF/平面PEC 2)求证:平面PEC 平面PCD 3) 设AD=2,CD= ,求点A到平面PEC的距离【例题讲解】【练习3】 已知正三棱柱ABCA1B1C1,若过面对角 线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1 的一边A1C1于点D. (1)确定D的位置,并证明你的结论; (2)证明:平面AB1D平面AA1D; (3)若ABAA1= ,求平面AB1D与平面AB1A1所成 角的大小.【例题讲解】【知识识方法总结总结 】 1.线面垂直关系的判定和证明, 要注意线线垂直关系,面面垂直关系与它之间的相互转化.2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、 斜线在平面上的射影,而确定射影的关键又是“垂足” ,如果“垂足”,定了,那么“垂足”和“斜足”的连线就 是斜线在平面上的射影.4.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化 条件和转化应用. 3. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线; 否则用作辅助线解决之,要过平面外一点P作平面的 垂线,通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面 ,设=l,在内作直线al,则a
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